Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101000 / 99448
↖ ↑ ↗
← S 67.734435°
E 97.404785°		 ← 115.73 m → S 67.734435°
E 97.407532°		 →
↑
115.70 m
↓
↑
115.70 m
↓
S 67.735476°
E 97.404785°		 ← 115.72 m →
13 389 m²		 S 67.735476°
E 97.407532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770572662353516 y=0.758731842041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770572662353516 × 217)
    floor (0.770572662353516 × 131072)
    floor (101000.5)     		tx = 101000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758731842041016 × 217)
    floor (0.758731842041016 × 131072)
    floor (99448.5)     		ty = 99448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101000 / 99448 ti = "17/101000/99448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101000/99448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101000 ÷ 217
    101000 ÷ 131072     		x = 0.77056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99448 ÷ 217
    99448 ÷ 131072     		y = 0.75872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77056884765625 × 2 - 1) × π
    0.5411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70003421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75872802734375 × 2 - 1) × π
    -0.5174560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62563613991534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70003421} λ = 1.70003421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62563613991534))-π/2
    2×atan(0.196786451661869)-π/2
    2×0.194303708637601-π/2
    0.388607417275203-1.57079632675     		φ = -1.18218891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70003421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18218891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.734435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101000 KachelY 99448 1.70003421 -1.18218891 97.404785 -67.734435
    Oben rechts KachelX + 1 101001 KachelY 99448 1.70008215 -1.18218891 97.407532 -67.734435
    Unten links KachelX 101000 KachelY + 1 99449 1.70003421 -1.18220707 97.404785 -67.735476
    Unten rechts KachelX + 1 101001 KachelY + 1 99449 1.70008215 -1.18220707 97.407532 -67.735476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18218891--1.18220707) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dl = 115.697359999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18218891--1.18220707) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dr = 115.697359999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70003421-1.70008215) × cos(-1.18218891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378900034069108 × 6371000     		do = 115.725823291507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70003421-1.70008215) × cos(-1.18220707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37888322805969 × 6371000     		du = 115.720690303644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18218891)-sin(-1.18220707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378900034069108-0.37888322805969)×R²
    abs(1.70008215-1.70003421)×1.68060094174471e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68060094174471e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68060094174471e-05×40589641000000     		ar = 13388.8753023348m²