Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101000 / 98456
↖ ↑ ↗
← S 66.679087°
E 97.404785°		 ← 120.91 m → S 66.679087°
E 97.407532°		 →
↑
120.86 m
↓
↑
120.86 m
↓
S 66.680174°
E 97.404785°		 ← 120.91 m →
14 613 m²		 S 66.680174°
E 97.407532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770572662353516 y=0.751163482666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770572662353516 × 217)
    floor (0.770572662353516 × 131072)
    floor (101000.5)     		tx = 101000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751163482666016 × 217)
    floor (0.751163482666016 × 131072)
    floor (98456.5)     		ty = 98456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101000 / 98456 ti = "17/101000/98456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101000/98456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101000 ÷ 217
    101000 ÷ 131072     		x = 0.77056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98456 ÷ 217
    98456 ÷ 131072     		y = 0.75115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77056884765625 × 2 - 1) × π
    0.5411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70003421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75115966796875 × 2 - 1) × π
    -0.5023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57808273549225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70003421} λ = 1.70003421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57808273549225))-π/2
    2×atan(0.20637038576447)-π/2
    2×0.203513359599467-π/2
    0.407026719198933-1.57079632675     		φ = -1.16376961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70003421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16376961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.679087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101000 KachelY 98456 1.70003421 -1.16376961 97.404785 -66.679087
    Oben rechts KachelX + 1 101001 KachelY 98456 1.70008215 -1.16376961 97.407532 -66.679087
    Unten links KachelX 101000 KachelY + 1 98457 1.70003421 -1.16378858 97.404785 -66.680174
    Unten rechts KachelX + 1 101001 KachelY + 1 98457 1.70008215 -1.16378858 97.407532 -66.680174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16376961--1.16378858) × R
    1.89700000001736e-05 × 6371000     		dl = 120.857870001106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16376961--1.16378858) × R
    1.89700000001736e-05 × 6371000     		dr = 120.857870001106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70003421-1.70008215) × cos(-1.16376961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395880710128403 × 6371000     		do = 120.912158842614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70003421-1.70008215) × cos(-1.16378858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395863289869265 × 6371000     		du = 120.906838247075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16376961)-sin(-1.16378858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395880710128403-0.395863289869265)×R²
    abs(1.70008215-1.70003421)×1.74202591387007e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74202591387007e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74202591387007e-05×40589641000000     		ar = 14612.8644574633m²