Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1010 / 1178
↖ ↑ ↗
← S 26.115986°
W  2.460937°		 ← 17.550 km → S 26.115986°
W  2.285156°		 →
↑
17.539 km
↓
↑
17.539 km
↓
S 26.273714°
W  2.460937°		 ← 17.527 km →
307.602 km²		 S 26.273714°
W  2.285156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493408203125 y=0.575439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493408203125 × 211)
    floor (0.493408203125 × 2048)
    floor (1010.5)     		tx = 1010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575439453125 × 211)
    floor (0.575439453125 × 2048)
    floor (1178.5)     		ty = 1178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1010 / 1178 ti = "11/1010/1178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1010/1178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1010 ÷ 211
    1010 ÷ 2048     		x = 0.4931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1178 ÷ 211
    1178 ÷ 2048     		y = 0.5751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5751953125 × 2 - 1) × π
    -0.150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.472466082655273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04295146} λ = -0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.472466082655273))-π/2
    2×atan(0.623462859963627)-π/2
    2×0.557493192502727-π/2
    1.11498638500545-1.57079632675     		φ = -0.45580994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45580994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.115986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1010 KachelY 1178 -0.04295146 -0.45580994 -2.460937 -26.115986
    Oben rechts KachelX + 1 1011 KachelY 1178 -0.03988350 -0.45580994 -2.285156 -26.115986
    Unten links KachelX 1010 KachelY + 1 1179 -0.04295146 -0.45856282 -2.460937 -26.273714
    Unten rechts KachelX + 1 1011 KachelY + 1 1179 -0.03988350 -0.45856282 -2.285156 -26.273714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45580994--0.45856282) × R
    0.00275287999999996 × 6371000     		dl = 17538.5984799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45580994--0.45856282) × R
    0.00275287999999996 × 6371000     		dr = 17538.5984799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04295146--0.03988350) × cos(-0.45580994) × R
    0.00306795999999999 × 0.897904795480173 × 6371000     		do = 17550.4230326907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04295146--0.03988350) × cos(-0.45856282) × R
    0.00306795999999999 × 0.896689605254309 × 6371000     		du = 17526.6709571517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45580994)-sin(-0.45856282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897904795480173-0.896689605254309)×R²
    abs(-0.03988350--0.04295146)×0.00121519022586358×R²
    0.00306795999999999×0.00121519022586358×6371000²
    0.00306795999999999×0.00121519022586358×40589641000000     		ar = 307601727.925974m²