Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100999 / 98957
↖ ↑ ↗
← S 67.217863°
E 97.402039°		 ← 118.27 m → S 67.217863°
E 97.404785°		 →
↑
118.25 m
↓
↑
118.25 m
↓
S 67.218926°
E 97.402039°		 ← 118.26 m →
13 985 m²		 S 67.218926°
E 97.404785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770565032958984 y=0.754985809326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770565032958984 × 217)
    floor (0.770565032958984 × 131072)
    floor (100999.5)     		tx = 100999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754985809326172 × 217)
    floor (0.754985809326172 × 131072)
    floor (98957.5)     		ty = 98957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100999 / 98957 ti = "17/100999/98957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100999/98957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100999 ÷ 217
    100999 ÷ 131072     		x = 0.770561218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98957 ÷ 217
    98957 ÷ 131072     		y = 0.754981994628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770561218261719 × 2 - 1) × π
    0.541122436523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.69998627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754981994628906 × 2 - 1) × π
    -0.509963989257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.6020991222019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69998627} λ = 1.69998627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6020991222019))-π/2
    2×atan(0.201473157029903)-π/2
    2×0.198811654868262-π/2
    0.397623309736524-1.57079632675     		φ = -1.17317302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69998627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.402039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17317302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.217863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100999 KachelY 98957 1.69998627 -1.17317302 97.402039 -67.217863
    Oben rechts KachelX + 1 101000 KachelY 98957 1.70003421 -1.17317302 97.404785 -67.217863
    Unten links KachelX 100999 KachelY + 1 98958 1.69998627 -1.17319158 97.402039 -67.218926
    Unten rechts KachelX + 1 101000 KachelY + 1 98958 1.70003421 -1.17319158 97.404785 -67.218926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17317302--1.17319158) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dl = 118.245760000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17317302--1.17319158) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dr = 118.245760000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69998627-1.70003421) × cos(-1.17317302) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.387228165116164 × 6371000     		do = 118.269448879917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69998627-1.70003421) × cos(-1.17319158) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.387211053027921 × 6371000     		du = 118.264222407702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17317302)-sin(-1.17319158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387228165116164-0.387211053027921)×R²
    abs(1.70003421-1.69998627)×1.71120882431208e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.71120882431208e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.71120882431208e-05×40589641000000     		ar = 13984.5518638929m²