Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100999 / 97928
↖ ↑ ↗
← S 66.098268°
E 97.402039°		 ← 123.75 m → S 66.098268°
E 97.404785°		 →
↑
123.79 m
↓
↑
123.79 m
↓
S 66.099381°
E 97.402039°		 ← 123.74 m →
15 318 m²		 S 66.099381°
E 97.404785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770565032958984 y=0.747135162353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770565032958984 × 217)
    floor (0.770565032958984 × 131072)
    floor (100999.5)     		tx = 100999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747135162353516 × 217)
    floor (0.747135162353516 × 131072)
    floor (97928.5)     		ty = 97928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100999 / 97928 ti = "17/100999/97928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100999/97928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100999 ÷ 217
    100999 ÷ 131072     		x = 0.770561218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97928 ÷ 217
    97928 ÷ 131072     		y = 0.74713134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770561218261719 × 2 - 1) × π
    0.541122436523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.69998627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74713134765625 × 2 - 1) × π
    -0.4942626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55277205249286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69998627} λ = 1.69998627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55277205249286))-π/2
    2×atan(0.211660426034693)-π/2
    2×0.208581956026806-π/2
    0.417163912053613-1.57079632675     		φ = -1.15363241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69998627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.402039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15363241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.098268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100999 KachelY 97928 1.69998627 -1.15363241 97.402039 -66.098268
    Oben rechts KachelX + 1 101000 KachelY 97928 1.70003421 -1.15363241 97.404785 -66.098268
    Unten links KachelX 100999 KachelY + 1 97929 1.69998627 -1.15365184 97.402039 -66.099381
    Unten rechts KachelX + 1 101000 KachelY + 1 97929 1.70003421 -1.15365184 97.404785 -66.099381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15363241--1.15365184) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dl = 123.788530000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15363241--1.15365184) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dr = 123.788530000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69998627-1.70003421) × cos(-1.15363241) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.405169220440116 × 6371000     		do = 123.749108978638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69998627-1.70003421) × cos(-1.15365184) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.405151456647227 × 6371000     		du = 123.743683459049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15363241)-sin(-1.15365184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405169220440116-0.405151456647227)×R²
    abs(1.70003421-1.69998627)×1.77637928890362e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.77637928890362e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.77637928890362e-05×40589641000000     		ar = 15318.3844811654m²