Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100999 / 97903
↖ ↑ ↗
← S 66.070432°
E 97.402039°		 ← 123.88 m → S 66.070432°
E 97.404785°		 →
↑
123.92 m
↓
↑
123.92 m
↓
S 66.071547°
E 97.402039°		 ← 123.88 m →
15 351 m²		 S 66.071547°
E 97.404785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770565032958984 y=0.746944427490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770565032958984 × 217)
    floor (0.770565032958984 × 131072)
    floor (100999.5)     		tx = 100999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746944427490234 × 217)
    floor (0.746944427490234 × 131072)
    floor (97903.5)     		ty = 97903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100999 / 97903 ti = "17/100999/97903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100999/97903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100999 ÷ 217
    100999 ÷ 131072     		x = 0.770561218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97903 ÷ 217
    97903 ÷ 131072     		y = 0.746940612792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770561218261719 × 2 - 1) × π
    0.541122436523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.69998627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746940612792969 × 2 - 1) × π
    -0.493881225585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.55157363000236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69998627} λ = 1.69998627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55157363000236))-π/2
    2×atan(0.211914236705433)-π/2
    2×0.208824871018119-π/2
    0.417649742036238-1.57079632675     		φ = -1.15314658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69998627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.402039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15314658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.070432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100999 KachelY 97903 1.69998627 -1.15314658 97.402039 -66.070432
    Oben rechts KachelX + 1 101000 KachelY 97903 1.70003421 -1.15314658 97.404785 -66.070432
    Unten links KachelX 100999 KachelY + 1 97904 1.69998627 -1.15316603 97.402039 -66.071547
    Unten rechts KachelX + 1 101000 KachelY + 1 97904 1.70003421 -1.15316603 97.404785 -66.071547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15314658--1.15316603) × R
    1.94499999999209e-05 × 6371000     		dl = 123.915949999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15314658--1.15316603) × R
    1.94499999999209e-05 × 6371000     		dr = 123.915949999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69998627-1.70003421) × cos(-1.15314658) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.405613338656011 × 6371000     		do = 123.884754113375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69998627-1.70003421) × cos(-1.15316603) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.405595560408748 × 6371000     		du = 123.879324179049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15314658)-sin(-1.15316603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405613338656011-0.405595560408748)×R²
    abs(1.70003421-1.69998627)×1.77782472629007e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.77782472629007e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.77782472629007e-05×40589641000000     		ar = 15350.9605693013m²