Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100997 / 97715
↖ ↑ ↗
← S 65.860126°
E 97.396546°		 ← 124.88 m → S 65.860126°
E 97.399292°		 →
↑
124.94 m
↓
↑
124.94 m
↓
S 65.861250°
E 97.396546°		 ← 124.88 m →
15 602 m²		 S 65.861250°
E 97.399292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770549774169922 y=0.745510101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770549774169922 × 217)
    floor (0.770549774169922 × 131072)
    floor (100997.5)     		tx = 100997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745510101318359 × 217)
    floor (0.745510101318359 × 131072)
    floor (97715.5)     		ty = 97715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100997 / 97715 ti = "17/100997/97715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100997/97715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100997 ÷ 217
    100997 ÷ 131072     		x = 0.770545959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97715 ÷ 217
    97715 ÷ 131072     		y = 0.745506286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770545959472656 × 2 - 1) × π
    0.541091918945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.69989040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745506286621094 × 2 - 1) × π
    -0.491012573242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.54256149287379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69989040} λ = 1.69989040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54256149287379))-π/2
    2×atan(0.213832668466825)-π/2
    2×0.210660137038492-π/2
    0.421320274076985-1.57079632675     		φ = -1.14947605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69989040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.396546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14947605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.860126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100997 KachelY 97715 1.69989040 -1.14947605 97.396546 -65.860126
    Oben rechts KachelX + 1 100998 KachelY 97715 1.69993833 -1.14947605 97.399292 -65.860126
    Unten links KachelX 100997 KachelY + 1 97716 1.69989040 -1.14949566 97.396546 -65.861250
    Unten rechts KachelX + 1 100998 KachelY + 1 97716 1.69993833 -1.14949566 97.399292 -65.861250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14947605--1.14949566) × R
    1.96099999998367e-05 × 6371000     		dl = 124.93530999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14947605--1.14949566) × R
    1.96099999998367e-05 × 6371000     		dr = 124.93530999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69989040-1.69993833) × cos(-1.14947605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408965627459055 × 6371000     		do = 124.882574201197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69989040-1.69993833) × cos(-1.14949566) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408947732279079 × 6371000     		du = 124.877109692713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14947605)-sin(-1.14949566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408965627459055-0.408947732279079)×R²
    abs(1.69993833-1.69989040)×1.7895179975469e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7895179975469e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7895179975469e-05×40589641000000     		ar = 15601.9017668417m²