Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100995 / 98441
↖ ↑ ↗
← S 66.662771°
E 97.391052°		 ← 120.99 m → S 66.662771°
E 97.393799°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
S 66.663859°
E 97.391052°		 ← 120.99 m →
14 638 m²		 S 66.663859°
E 97.393799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770534515380859 y=0.751049041748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770534515380859 × 217)
    floor (0.770534515380859 × 131072)
    floor (100995.5)     		tx = 100995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751049041748047 × 217)
    floor (0.751049041748047 × 131072)
    floor (98441.5)     		ty = 98441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100995 / 98441 ti = "17/100995/98441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100995/98441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100995 ÷ 217
    100995 ÷ 131072     		x = 0.770530700683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98441 ÷ 217
    98441 ÷ 131072     		y = 0.751045227050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770530700683594 × 2 - 1) × π
    0.541061401367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.69979452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751045227050781 × 2 - 1) × π
    -0.502090454101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.57736368199795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69979452} λ = 1.69979452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57736368199795))-π/2
    2×atan(0.206518830474922)-π/2
    2×0.20365573630339-π/2
    0.407311472606781-1.57079632675     		φ = -1.16348485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69979452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.391052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16348485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.662771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100995 KachelY 98441 1.69979452 -1.16348485 97.391052 -66.662771
    Oben rechts KachelX + 1 100996 KachelY 98441 1.69984246 -1.16348485 97.393799 -66.662771
    Unten links KachelX 100995 KachelY + 1 98442 1.69979452 -1.16350384 97.391052 -66.663859
    Unten rechts KachelX + 1 100996 KachelY + 1 98442 1.69984246 -1.16350384 97.393799 -66.663859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16348485--1.16350384) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dl = 120.985290000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16348485--1.16350384) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dr = 120.985290000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69979452-1.69984246) × cos(-1.16348485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396142189736269 × 6371000     		do = 120.992021445341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69979452-1.69984246) × cos(-1.16350384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396124753252362 × 6371000     		du = 120.986695894341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16348485)-sin(-1.16350384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396142189736269-0.396124753252362)×R²
    abs(1.69984246-1.69979452)×1.74364839063967e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74364839063967e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74364839063967e-05×40589641000000     		ar = 14637.9326459914m²