Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100991 / 99014
↖ ↑ ↗
← S 67.278409°
E 97.380066°		 ← 117.95 m → S 67.278409°
E 97.382812°		 →
↑
117.93 m
↓
↑
117.93 m
↓
S 67.279469°
E 97.380066°		 ← 117.94 m →
13 909 m²		 S 67.279469°
E 97.382812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770503997802734 y=0.755420684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770503997802734 × 217)
    floor (0.770503997802734 × 131072)
    floor (100991.5)     		tx = 100991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755420684814453 × 217)
    floor (0.755420684814453 × 131072)
    floor (99014.5)     		ty = 99014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100991 / 99014 ti = "17/100991/99014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100991/99014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100991 ÷ 217
    100991 ÷ 131072     		x = 0.770500183105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99014 ÷ 217
    99014 ÷ 131072     		y = 0.755416870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770500183105469 × 2 - 1) × π
    0.541000366210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.69960278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755416870117188 × 2 - 1) × π
    -0.510833740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60483152548024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69960278} λ = 1.69960278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60483152548024))-π/2
    2×atan(0.200923402532671)-π/2
    2×0.198283289026641-π/2
    0.396566578053282-1.57079632675     		φ = -1.17422975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69960278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.380066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17422975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.278409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100991 KachelY 99014 1.69960278 -1.17422975 97.380066 -67.278409
    Oben rechts KachelX + 1 100992 KachelY 99014 1.69965071 -1.17422975 97.382812 -67.278409
    Unten links KachelX 100991 KachelY + 1 99015 1.69960278 -1.17424826 97.380066 -67.279469
    Unten rechts KachelX + 1 100992 KachelY + 1 99015 1.69965071 -1.17424826 97.382812 -67.279469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17422975--1.17424826) × R
    1.85099999998606e-05 × 6371000     		dl = 117.927209999112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17422975--1.17424826) × R
    1.85099999998606e-05 × 6371000     		dr = 117.927209999112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69960278-1.69965071) × cos(-1.17422975) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38625366102543 × 6371000     		do = 117.947202025729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69960278-1.69965071) × cos(-1.17424826) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.386236587472228 × 6371000     		du = 117.941988410864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17422975)-sin(-1.17424826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38625366102543-0.386236587472228)×R²
    abs(1.69965071-1.69960278)×1.70735532021293e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70735532021293e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70735532021293e-05×40589641000000     		ar = 13908.8770489628m²