Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100990 / 99453
↖ ↑ ↗
← S 67.739638°
E 97.377319°		 ← 115.70 m → S 67.739638°
E 97.380066°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
S 67.740678°
E 97.377319°		 ← 115.70 m →
13 379 m²		 S 67.740678°
E 97.380066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770496368408203 y=0.758769989013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770496368408203 × 217)
    floor (0.770496368408203 × 131072)
    floor (100990.5)     		tx = 100990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758769989013672 × 217)
    floor (0.758769989013672 × 131072)
    floor (99453.5)     		ty = 99453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100990 / 99453 ti = "17/100990/99453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100990/99453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100990 ÷ 217
    100990 ÷ 131072     		x = 0.770492553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99453 ÷ 217
    99453 ÷ 131072     		y = 0.758766174316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770492553710938 × 2 - 1) × π
    0.540985107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69955484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758766174316406 × 2 - 1) × π
    -0.517532348632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.62587582441344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69955484} λ = 1.69955484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62587582441344))-π/2
    2×atan(0.196739290652077)-π/2
    2×0.194258305441059-π/2
    0.388516610882119-1.57079632675     		φ = -1.18227972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69955484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.377319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18227972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.739638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100990 KachelY 99453 1.69955484 -1.18227972 97.377319 -67.739638
    Oben rechts KachelX + 1 100991 KachelY 99453 1.69960278 -1.18227972 97.380066 -67.739638
    Unten links KachelX 100990 KachelY + 1 99454 1.69955484 -1.18229787 97.377319 -67.740678
    Unten rechts KachelX + 1 100991 KachelY + 1 99454 1.69960278 -1.18229787 97.380066 -67.740678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18227972--1.18229787) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18227972--1.18229787) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69955484-1.69960278) × cos(-1.18227972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378815993517854 × 6371000     		do = 115.70015514395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69955484-1.69960278) × cos(-1.18229787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378799196138461 × 6371000     		du = 115.695024791919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18227972)-sin(-1.18229787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378815993517854-0.378799196138461)×R²
    abs(1.69960278-1.69955484)×1.67973793931409e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67973793931409e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67973793931409e-05×40589641000000     		ar = 13378.5346244658m²