Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100989 / 99455
↖ ↑ ↗
← S 67.741719°
E 97.374573°		 ← 115.69 m → S 67.741719°
E 97.377319°		 →
↑
115.70 m
↓
↑
115.70 m
↓
S 67.742759°
E 97.374573°		 ← 115.68 m →
13 385 m²		 S 67.742759°
E 97.377319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770488739013672 y=0.758785247802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770488739013672 × 217)
    floor (0.770488739013672 × 131072)
    floor (100989.5)     		tx = 100989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758785247802734 × 217)
    floor (0.758785247802734 × 131072)
    floor (99455.5)     		ty = 99455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100989 / 99455 ti = "17/100989/99455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100989/99455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100989 ÷ 217
    100989 ÷ 131072     		x = 0.770484924316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99455 ÷ 217
    99455 ÷ 131072     		y = 0.758781433105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770484924316406 × 2 - 1) × π
    0.540969848632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.69950690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758781433105469 × 2 - 1) × π
    -0.517562866210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.62597169821268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69950690} λ = 1.69950690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62597169821268))-π/2
    2×atan(0.196720429412986)-π/2
    2×0.194240146982225-π/2
    0.388480293964449-1.57079632675     		φ = -1.18231603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69950690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.374573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18231603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.741719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100989 KachelY 99455 1.69950690 -1.18231603 97.374573 -67.741719
    Oben rechts KachelX + 1 100990 KachelY 99455 1.69955484 -1.18231603 97.377319 -67.741719
    Unten links KachelX 100989 KachelY + 1 99456 1.69950690 -1.18233419 97.374573 -67.742759
    Unten rechts KachelX + 1 100990 KachelY + 1 99456 1.69955484 -1.18233419 97.377319 -67.742759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18231603--1.18233419) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dl = 115.697359999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18231603--1.18233419) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dr = 115.697359999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69950690-1.69955484) × cos(-1.18231603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378782389379425 × 6371000     		do = 115.689891575103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69950690-1.69955484) × cos(-1.18233419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378765582495472 × 6371000     		du = 115.684758320135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18231603)-sin(-1.18233419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378782389379425-0.378765582495472)×R²
    abs(1.69955484-1.69950690)×1.68068839526692e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68068839526692e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68068839526692e-05×40589641000000     		ar = 13384.7180822181m²