Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100988 / 98960
↖ ↑ ↗
← S 67.221053°
E 97.371826°		 ← 118.23 m → S 67.221053°
E 97.374573°		 →
↑
118.25 m
↓
↑
118.25 m
↓
S 67.222116°
E 97.371826°		 ← 118.22 m →
13 980 m²		 S 67.222116°
E 97.374573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770481109619141 y=0.755008697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770481109619141 × 217)
    floor (0.770481109619141 × 131072)
    floor (100988.5)     		tx = 100988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755008697509766 × 217)
    floor (0.755008697509766 × 131072)
    floor (98960.5)     		ty = 98960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100988 / 98960 ti = "17/100988/98960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100988/98960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100988 ÷ 217
    100988 ÷ 131072     		x = 0.770477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98960 ÷ 217
    98960 ÷ 131072     		y = 0.7550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770477294921875 × 2 - 1) × π
    0.54095458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69945897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7550048828125 × 2 - 1) × π
    -0.510009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60224293290076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69945897} λ = 1.69945897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60224293290076))-π/2
    2×atan(0.201444185117674)-π/2
    2×0.198783812937397-π/2
    0.397567625874794-1.57079632675     		φ = -1.17322870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69945897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.371826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17322870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.221053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100988 KachelY 98960 1.69945897 -1.17322870 97.371826 -67.221053
    Oben rechts KachelX + 1 100989 KachelY 98960 1.69950690 -1.17322870 97.374573 -67.221053
    Unten links KachelX 100988 KachelY + 1 98961 1.69945897 -1.17324726 97.371826 -67.222116
    Unten rechts KachelX + 1 100989 KachelY + 1 98961 1.69950690 -1.17324726 97.374573 -67.222116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17322870--1.17324726) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dl = 118.245760000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17322870--1.17324726) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dr = 118.245760000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69945897-1.69950690) × cos(-1.17322870) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.387176828451289 × 6371000     		do = 118.22910230492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69945897-1.69950690) × cos(-1.17324726) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.387159715962912 × 6371000     		du = 118.22387680073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17322870)-sin(-1.17324726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387176828451289-0.387159715962912)×R²
    abs(1.69950690-1.69945897)×1.71124883774354e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71124883774354e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71124883774354e-05×40589641000000     		ar = 13979.7811098002m²