Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100987 / 98426
↖ ↑ ↗
← S 66.646446°
E 97.369080°		 ← 121.07 m → S 66.646446°
E 97.371826°		 →
↑
121.05 m
↓
↑
121.05 m
↓
S 66.647534°
E 97.369080°		 ← 121.07 m →
14 655 m²		 S 66.647534°
E 97.371826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770473480224609 y=0.750934600830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770473480224609 × 217)
    floor (0.770473480224609 × 131072)
    floor (100987.5)     		tx = 100987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750934600830078 × 217)
    floor (0.750934600830078 × 131072)
    floor (98426.5)     		ty = 98426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100987 / 98426 ti = "17/100987/98426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100987/98426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100987 ÷ 217
    100987 ÷ 131072     		x = 0.770469665527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98426 ÷ 217
    98426 ÷ 131072     		y = 0.750930786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770469665527344 × 2 - 1) × π
    0.540939331054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.69941103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750930786132812 × 2 - 1) × π
    -0.501861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57664462850365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69941103} λ = 1.69941103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57664462850365))-π/2
    2×atan(0.206667381963447)-π/2
    2×0.203798207039314-π/2
    0.407596414078627-1.57079632675     		φ = -1.16319991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69941103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.369080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16319991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.646446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100987 KachelY 98426 1.69941103 -1.16319991 97.369080 -66.646446
    Oben rechts KachelX + 1 100988 KachelY 98426 1.69945897 -1.16319991 97.371826 -66.646446
    Unten links KachelX 100987 KachelY + 1 98427 1.69941103 -1.16321891 97.369080 -66.647534
    Unten rechts KachelX + 1 100988 KachelY + 1 98427 1.69945897 -1.16321891 97.371826 -66.647534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16319991--1.16321891) × R
    1.90000000002133e-05 × 6371000     		dl = 121.049000001359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16319991--1.16321891) × R
    1.90000000002133e-05 × 6371000     		dr = 121.049000001359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69941103-1.69945897) × cos(-1.16319991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396403802475388 × 6371000     		do = 121.07192470978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69941103-1.69945897) × cos(-1.16321891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396386358954834 × 6371000     		du = 121.066597009606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16319991)-sin(-1.16321891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396403802475388-0.396386358954834)×R²
    abs(1.69945897-1.69941103)×1.74435205542722e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74435205542722e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74435205542722e-05×40589641000000     		ar = 14655.3129583661m²