Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100986 / 98423
↖ ↑ ↗
← S 66.643179°
E 97.366333°		 ← 121.09 m → S 66.643179°
E 97.369080°		 →
↑
121.11 m
↓
↑
121.11 m
↓
S 66.644268°
E 97.366333°		 ← 121.08 m →
14 665 m²		 S 66.644268°
E 97.369080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770465850830078 y=0.750911712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770465850830078 × 217)
    floor (0.770465850830078 × 131072)
    floor (100986.5)     		tx = 100986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750911712646484 × 217)
    floor (0.750911712646484 × 131072)
    floor (98423.5)     		ty = 98423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100986 / 98423 ti = "17/100986/98423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100986/98423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100986 ÷ 217
    100986 ÷ 131072     		x = 0.770462036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98423 ÷ 217
    98423 ÷ 131072     		y = 0.750907897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770462036132812 × 2 - 1) × π
    0.540924072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69936309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750907897949219 × 2 - 1) × π
    -0.501815795898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.57650081780479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69936309} λ = 1.69936309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57650081780479))-π/2
    2×atan(0.206697105081279)-π/2
    2×0.203826712474785-π/2
    0.407653424949569-1.57079632675     		φ = -1.16314290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69936309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.366333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16314290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.643179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100986 KachelY 98423 1.69936309 -1.16314290 97.366333 -66.643179
    Oben rechts KachelX + 1 100987 KachelY 98423 1.69941103 -1.16314290 97.369080 -66.643179
    Unten links KachelX 100986 KachelY + 1 98424 1.69936309 -1.16316191 97.366333 -66.644268
    Unten rechts KachelX + 1 100987 KachelY + 1 98424 1.69941103 -1.16316191 97.369080 -66.644268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16314290--1.16316191) × R
    1.90099999999305e-05 × 6371000     		dl = 121.112709999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16314290--1.16316191) × R
    1.90099999999305e-05 × 6371000     		dr = 121.112709999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69936309-1.69941103) × cos(-1.16314290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396456141358951 × 6371000     		do = 121.087910352023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69936309-1.69941103) × cos(-1.16316191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396438689087184 × 6371000     		du = 121.082579979004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16314290)-sin(-1.16316191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396456141358951-0.396438689087184)×R²
    abs(1.69941103-1.69936309)×1.74522717664161e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74522717664161e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74522717664161e-05×40589641000000     		ar = 14664.9621833311m²