Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100985 / 98428
↖ ↑ ↗
← S 66.648623°
E 97.363586°		 ← 121.06 m → S 66.648623°
E 97.366333°		 →
↑
121.05 m
↓
↑
121.05 m
↓
S 66.649712°
E 97.363586°		 ← 121.06 m →
14 654 m²		 S 66.649712°
E 97.366333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770458221435547 y=0.750949859619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770458221435547 × 217)
    floor (0.770458221435547 × 131072)
    floor (100985.5)     		tx = 100985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750949859619141 × 217)
    floor (0.750949859619141 × 131072)
    floor (98428.5)     		ty = 98428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100985 / 98428 ti = "17/100985/98428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100985/98428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100985 ÷ 217
    100985 ÷ 131072     		x = 0.770454406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98428 ÷ 217
    98428 ÷ 131072     		y = 0.750946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770454406738281 × 2 - 1) × π
    0.540908813476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.69931515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750946044921875 × 2 - 1) × π
    -0.50189208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57674050230289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69931515} λ = 1.69931515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57674050230289))-π/2
    2×atan(0.20664756892615)-π/2
    2×0.203779205506414-π/2
    0.407558411012828-1.57079632675     		φ = -1.16323792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69931515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.363586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16323792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.648623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100985 KachelY 98428 1.69931515 -1.16323792 97.363586 -66.648623
    Oben rechts KachelX + 1 100986 KachelY 98428 1.69936309 -1.16323792 97.366333 -66.648623
    Unten links KachelX 100985 KachelY + 1 98429 1.69931515 -1.16325692 97.363586 -66.649712
    Unten rechts KachelX + 1 100986 KachelY + 1 98429 1.69936309 -1.16325692 97.366333 -66.649712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16323792--1.16325692) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dl = 121.048999999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16323792--1.16325692) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dr = 121.048999999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69931515-1.69936309) × cos(-1.16323792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396368906110271 × 6371000     		do = 121.061266461641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69931515-1.69936309) × cos(-1.16325692) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396351462303457 × 6371000     		du = 121.055938674036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16323792)-sin(-1.16325692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396368906110271-0.396351462303457)×R²
    abs(1.69936309-1.69931515)×1.74438068140104e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74438068140104e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74438068140104e-05×40589641000000     		ar = 14654.0227826352m²