Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100981 / 98182
↖ ↑ ↗
← S 66.379359°
E 97.352600°		 ← 122.35 m → S 66.379359°
E 97.355346°		 →
↑
122.32 m
↓
↑
122.32 m
↓
S 66.380459°
E 97.352600°		 ← 122.35 m →
14 966 m²		 S 66.380459°
E 97.355346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770427703857422 y=0.749073028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770427703857422 × 217)
    floor (0.770427703857422 × 131072)
    floor (100981.5)     		tx = 100981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749073028564453 × 217)
    floor (0.749073028564453 × 131072)
    floor (98182.5)     		ty = 98182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100981 / 98182 ti = "17/100981/98182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100981/98182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100981 ÷ 217
    100981 ÷ 131072     		x = 0.770423889160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98182 ÷ 217
    98182 ÷ 131072     		y = 0.749069213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770423889160156 × 2 - 1) × π
    0.540847778320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.69912341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749069213867188 × 2 - 1) × π
    -0.498138427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56494802499635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69912341} λ = 1.69912341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56494802499635))-π/2
    2×atan(0.20909888080595)-π/2
    2×0.206128979661193-π/2
    0.412257959322386-1.57079632675     		φ = -1.15853837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69912341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.352600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15853837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.379359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100981 KachelY 98182 1.69912341 -1.15853837 97.352600 -66.379359
    Oben rechts KachelX + 1 100982 KachelY 98182 1.69917134 -1.15853837 97.355346 -66.379359
    Unten links KachelX 100981 KachelY + 1 98183 1.69912341 -1.15855757 97.352600 -66.380459
    Unten rechts KachelX + 1 100982 KachelY + 1 98183 1.69917134 -1.15855757 97.355346 -66.380459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15853837--1.15855757) × R
    1.9199999999886e-05 × 6371000     		dl = 122.323199999274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15853837--1.15855757) × R
    1.9199999999886e-05 × 6371000     		dr = 122.323199999274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69912341-1.69917134) × cos(-1.15853837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400679129290144 × 6371000     		do = 122.352192298746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69912341-1.69917134) × cos(-1.15855757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.400661537822185 × 6371000     		du = 122.346820532379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15853837)-sin(-1.15855757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400679129290144-0.400661537822185)×R²
    abs(1.69917134-1.69912341)×1.75914679582112e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75914679582112e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75914679582112e-05×40589641000000     		ar = 14966.1831435533m²