Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100980 / 98413
↖ ↑ ↗
← S 66.632288°
E 97.349854°		 ← 121.14 m → S 66.632288°
E 97.352600°		 →
↑
121.11 m
↓
↑
121.11 m
↓
S 66.633377°
E 97.349854°		 ← 121.14 m →
14 671 m²		 S 66.633377°
E 97.352600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770420074462891 y=0.750835418701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770420074462891 × 217)
    floor (0.770420074462891 × 131072)
    floor (100980.5)     		tx = 100980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750835418701172 × 217)
    floor (0.750835418701172 × 131072)
    floor (98413.5)     		ty = 98413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100980 / 98413 ti = "17/100980/98413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100980/98413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100980 ÷ 217
    100980 ÷ 131072     		x = 0.770416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98413 ÷ 217
    98413 ÷ 131072     		y = 0.750831604003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770416259765625 × 2 - 1) × π
    0.54083251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69907547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750831604003906 × 2 - 1) × π
    -0.501663208007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.57602144880859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69907547} λ = 1.69907547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57602144880859))-π/2
    2×atan(0.206796213017797)-π/2
    2×0.203921757777608-π/2
    0.407843515555216-1.57079632675     		φ = -1.16295281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69907547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.349854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16295281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.632288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100980 KachelY 98413 1.69907547 -1.16295281 97.349854 -66.632288
    Oben rechts KachelX + 1 100981 KachelY 98413 1.69912341 -1.16295281 97.352600 -66.632288
    Unten links KachelX 100980 KachelY + 1 98414 1.69907547 -1.16297182 97.349854 -66.633377
    Unten rechts KachelX + 1 100981 KachelY + 1 98414 1.69912341 -1.16297182 97.352600 -66.633377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16295281--1.16297182) × R
    1.90100000001525e-05 × 6371000     		dl = 121.112710000972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16295281--1.16297182) × R
    1.90100000001525e-05 × 6371000     		dr = 121.112710000972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69907547-1.69912341) × cos(-1.16295281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396630647015868 × 6371000     		do = 121.141208871421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69907547-1.69912341) × cos(-1.16297182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396613196177023 × 6371000     		du = 121.135878936053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16295281)-sin(-1.16297182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396630647015868-0.396613196177023)×R²
    abs(1.69912341-1.69907547)×1.74508388446348e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74508388446348e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74508388446348e-05×40589641000000     		ar = 14671.4173381762m²