Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100979 / 98409
↖ ↑ ↗
← S 66.627930°
E 97.347107°		 ← 121.16 m → S 66.627930°
E 97.349854°		 →
↑
121.18 m
↓
↑
121.18 m
↓
S 66.629020°
E 97.347107°		 ← 121.16 m →
14 682 m²		 S 66.629020°
E 97.349854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770412445068359 y=0.750804901123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770412445068359 × 217)
    floor (0.770412445068359 × 131072)
    floor (100979.5)     		tx = 100979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750804901123047 × 217)
    floor (0.750804901123047 × 131072)
    floor (98409.5)     		ty = 98409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100979 / 98409 ti = "17/100979/98409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100979/98409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100979 ÷ 217
    100979 ÷ 131072     		x = 0.770408630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98409 ÷ 217
    98409 ÷ 131072     		y = 0.750801086425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770408630371094 × 2 - 1) × π
    0.540817260742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.69902753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750801086425781 × 2 - 1) × π
    -0.501602172851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.57582970121011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69902753} λ = 1.69902753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57582970121011))-π/2
    2×atan(0.206835869496914)-π/2
    2×0.203959787611397-π/2
    0.407919575222794-1.57079632675     		φ = -1.16287675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69902753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.347107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16287675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.627930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100979 KachelY 98409 1.69902753 -1.16287675 97.347107 -66.627930
    Oben rechts KachelX + 1 100980 KachelY 98409 1.69907547 -1.16287675 97.349854 -66.627930
    Unten links KachelX 100979 KachelY + 1 98410 1.69902753 -1.16289577 97.347107 -66.629020
    Unten rechts KachelX + 1 100980 KachelY + 1 98410 1.69907547 -1.16289577 97.349854 -66.629020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16287675--1.16289577) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dl = 121.176420000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16287675--1.16289577) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dr = 121.176420000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69902753-1.69907547) × cos(-1.16287675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396700467296801 × 6371000     		do = 121.162533782392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69902753-1.69907547) × cos(-1.16289577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396683007851926 × 6371000     		du = 121.157201218521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16287675)-sin(-1.16289577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396700467296801-0.396683007851926)×R²
    abs(1.69907547-1.69902753)×1.74594448748011e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74594448748011e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74594448748011e-05×40589641000000     		ar = 14681.718991757m²