Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100978 / 99244
↖ ↑ ↗
← S 67.521173°
E 97.344361°		 ← 116.75 m → S 67.521173°
E 97.347107°		 →
↑
116.78 m
↓
↑
116.78 m
↓
S 67.522224°
E 97.344361°		 ← 116.75 m →
13 634 m²		 S 67.522224°
E 97.347107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770404815673828 y=0.757175445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770404815673828 × 217)
    floor (0.770404815673828 × 131072)
    floor (100978.5)     		tx = 100978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757175445556641 × 217)
    floor (0.757175445556641 × 131072)
    floor (99244.5)     		ty = 99244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100978 / 99244 ti = "17/100978/99244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100978/99244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100978 ÷ 217
    100978 ÷ 131072     		x = 0.770401000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99244 ÷ 217
    99244 ÷ 131072     		y = 0.757171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770401000976562 × 2 - 1) × π
    0.540802001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69897960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757171630859375 × 2 - 1) × π
    -0.51434326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61585701239285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69897960} λ = 1.69897960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61585701239285))-π/2
    2×atan(0.198720291690208)-π/2
    2×0.196164768816893-π/2
    0.392329537633785-1.57079632675     		φ = -1.17846679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69897960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.344361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17846679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.521173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100978 KachelY 99244 1.69897960 -1.17846679 97.344361 -67.521173
    Oben rechts KachelX + 1 100979 KachelY 99244 1.69902753 -1.17846679 97.347107 -67.521173
    Unten links KachelX 100978 KachelY + 1 99245 1.69897960 -1.17848512 97.344361 -67.522224
    Unten rechts KachelX + 1 100979 KachelY + 1 99245 1.69902753 -1.17848512 97.347107 -67.522224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17846679--1.17848512) × R
    1.83299999998443e-05 × 6371000     		dl = 116.780429999008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17846679--1.17848512) × R
    1.83299999998443e-05 × 6371000     		dr = 116.780429999008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69897960-1.69902753) × cos(-1.17846679) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382341991269588 × 6371000     		do = 116.752726608395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69897960-1.69902753) × cos(-1.17848512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382325053902479 × 6371000     		du = 116.747554579592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17846679)-sin(-1.17848512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382341991269588-0.382325053902479)×R²
    abs(1.69902753-1.69897960)×1.69373671097817e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69373671097817e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69373671097817e-05×40589641000000     		ar = 13634.1316215395m²