Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100978 / 98410
↖ ↑ ↗
← S 66.629020°
E 97.344361°		 ← 121.13 m → S 66.629020°
E 97.347107°		 →
↑
121.11 m
↓
↑
121.11 m
↓
S 66.630109°
E 97.344361°		 ← 121.13 m →
14 670 m²		 S 66.630109°
E 97.347107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770404815673828 y=0.750812530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770404815673828 × 217)
    floor (0.770404815673828 × 131072)
    floor (100978.5)     		tx = 100978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750812530517578 × 217)
    floor (0.750812530517578 × 131072)
    floor (98410.5)     		ty = 98410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100978 / 98410 ti = "17/100978/98410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100978/98410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100978 ÷ 217
    100978 ÷ 131072     		x = 0.770401000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98410 ÷ 217
    98410 ÷ 131072     		y = 0.750808715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770401000976562 × 2 - 1) × π
    0.540802001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69897960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750808715820312 × 2 - 1) × π
    -0.501617431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57587763810973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69897960} λ = 1.69897960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57587763810973))-π/2
    2×atan(0.206825954664245)-π/2
    2×0.203950279525389-π/2
    0.407900559050777-1.57079632675     		φ = -1.16289577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69897960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.344361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16289577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.629020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100978 KachelY 98410 1.69897960 -1.16289577 97.344361 -66.629020
    Oben rechts KachelX + 1 100979 KachelY 98410 1.69902753 -1.16289577 97.347107 -66.629020
    Unten links KachelX 100978 KachelY + 1 98411 1.69897960 -1.16291478 97.344361 -66.630109
    Unten rechts KachelX + 1 100979 KachelY + 1 98411 1.69902753 -1.16291478 97.347107 -66.630109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16289577--1.16291478) × R
    1.90099999999305e-05 × 6371000     		dl = 121.112709999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16289577--1.16291478) × R
    1.90099999999305e-05 × 6371000     		dr = 121.112709999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69897960-1.69902753) × cos(-1.16289577) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396683007851926 × 6371000     		do = 121.131928544244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69897960-1.69902753) × cos(-1.16291478) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396665557443179 × 6371000     		du = 121.126599852005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16289577)-sin(-1.16291478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396683007851926-0.396665557443179)×R²
    abs(1.69902753-1.69897960)×1.74504087468441e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74504087468441e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74504087468441e-05×40589641000000     		ar = 14670.2934478265m²