Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100977 / 99245
↖ ↑ ↗
← S 67.522224°
E 97.341614°		 ← 116.77 m → S 67.522224°
E 97.344361°		 →
↑
116.72 m
↓
↑
116.72 m
↓
S 67.523273°
E 97.341614°		 ← 116.77 m →
13 629 m²		 S 67.523273°
E 97.344361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770397186279297 y=0.757183074951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770397186279297 × 217)
    floor (0.770397186279297 × 131072)
    floor (100977.5)     		tx = 100977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757183074951172 × 217)
    floor (0.757183074951172 × 131072)
    floor (99245.5)     		ty = 99245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100977 / 99245 ti = "17/100977/99245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100977/99245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100977 ÷ 217
    100977 ÷ 131072     		x = 0.770393371582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99245 ÷ 217
    99245 ÷ 131072     		y = 0.757179260253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770393371582031 × 2 - 1) × π
    0.540786743164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.69893166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757179260253906 × 2 - 1) × π
    -0.514358520507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.61590494929247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69893166} λ = 1.69893166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61590494929247))-π/2
    2×atan(0.198710765883853)-π/2
    2×0.196155604875005-π/2
    0.39231120975001-1.57079632675     		φ = -1.17848512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69893166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.341614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17848512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.522224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100977 KachelY 99245 1.69893166 -1.17848512 97.341614 -67.522224
    Oben rechts KachelX + 1 100978 KachelY 99245 1.69897960 -1.17848512 97.344361 -67.522224
    Unten links KachelX 100977 KachelY + 1 99246 1.69893166 -1.17850344 97.341614 -67.523273
    Unten rechts KachelX + 1 100978 KachelY + 1 99246 1.69897960 -1.17850344 97.344361 -67.523273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17848512--1.17850344) × R
    1.83200000001271e-05 × 6371000     		dl = 116.71672000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17848512--1.17850344) × R
    1.83200000001271e-05 × 6371000     		dr = 116.71672000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69893166-1.69897960) × cos(-1.17848512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382325053902479 × 6371000     		do = 116.771912508628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69893166-1.69897960) × cos(-1.17850344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382308125647261 × 6371000     		du = 116.766742183751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17848512)-sin(-1.17850344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382325053902479-0.382308125647261)×R²
    abs(1.69897960-1.69893166)×1.6928255217985e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6928255217985e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6928255217985e-05×40589641000000     		ar = 13628.9328849473m²