Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100976 / 99088
↖ ↑ ↗
← S 67.356785°
E 97.338867°		 ← 117.59 m → S 67.356785°
E 97.341614°		 →
↑
117.54 m
↓
↑
117.54 m
↓
S 67.357843°
E 97.338867°		 ← 117.58 m →
13 821 m²		 S 67.357843°
E 97.341614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770389556884766 y=0.755985260009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770389556884766 × 217)
    floor (0.770389556884766 × 131072)
    floor (100976.5)     		tx = 100976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755985260009766 × 217)
    floor (0.755985260009766 × 131072)
    floor (99088.5)     		ty = 99088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100976 / 99088 ti = "17/100976/99088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100976/99088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100976 ÷ 217
    100976 ÷ 131072     		x = 0.7703857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99088 ÷ 217
    99088 ÷ 131072     		y = 0.7559814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7703857421875 × 2 - 1) × π
    0.540771484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69888372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7559814453125 × 2 - 1) × π
    -0.511962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60837885605212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69888372} λ = 1.69888372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60837885605212))-π/2
    2×atan(0.200211923476042)-π/2
    2×0.197599324115864-π/2
    0.395198648231729-1.57079632675     		φ = -1.17559768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69888372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17559768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.356785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100976 KachelY 99088 1.69888372 -1.17559768 97.338867 -67.356785
    Oben rechts KachelX + 1 100977 KachelY 99088 1.69893166 -1.17559768 97.341614 -67.356785
    Unten links KachelX 100976 KachelY + 1 99089 1.69888372 -1.17561613 97.338867 -67.357843
    Unten rechts KachelX + 1 100977 KachelY + 1 99089 1.69893166 -1.17561613 97.341614 -67.357843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17559768--1.17561613) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dl = 117.54495000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17559768--1.17561613) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dr = 117.54495000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69888372-1.69893166) × cos(-1.17559768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384991531523879 × 6371000     		do = 117.586323409337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69888372-1.69893166) × cos(-1.17561613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384974503582412 × 6371000     		du = 117.581122637714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17559768)-sin(-1.17561613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384991531523879-0.384974503582412)×R²
    abs(1.69893166-1.69888372)×1.70279414667407e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70279414667407e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70279414667407e-05×40589641000000     		ar = 13821.3728439978m²