Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100974 / 98870
↖ ↑ ↗
← S 67.125155°
E 97.333374°		 ← 118.72 m → S 67.125155°
E 97.336121°		 →
↑
118.69 m
↓
↑
118.69 m
↓
S 67.126223°
E 97.333374°		 ← 118.72 m →
14 091 m²		 S 67.126223°
E 97.336121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770374298095703 y=0.754322052001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770374298095703 × 217)
    floor (0.770374298095703 × 131072)
    floor (100974.5)     		tx = 100974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754322052001953 × 217)
    floor (0.754322052001953 × 131072)
    floor (98870.5)     		ty = 98870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100974 / 98870 ti = "17/100974/98870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100974/98870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100974 ÷ 217
    100974 ÷ 131072     		x = 0.770370483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98870 ÷ 217
    98870 ÷ 131072     		y = 0.754318237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770370483398438 × 2 - 1) × π
    0.540740966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69878785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754318237304688 × 2 - 1) × π
    -0.508636474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59792861193495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69878785} λ = 1.69878785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59792861193495))-π/2
    2×atan(0.202315157465119)-π/2
    2×0.199620678450103-π/2
    0.399241356900206-1.57079632675     		φ = -1.17155497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69878785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.333374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17155497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.125155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100974 KachelY 98870 1.69878785 -1.17155497 97.333374 -67.125155
    Oben rechts KachelX + 1 100975 KachelY 98870 1.69883579 -1.17155497 97.336121 -67.125155
    Unten links KachelX 100974 KachelY + 1 98871 1.69878785 -1.17157360 97.333374 -67.126223
    Unten rechts KachelX + 1 100975 KachelY + 1 98871 1.69883579 -1.17157360 97.336121 -67.126223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17155497--1.17157360) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dl = 118.691730000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17155497--1.17157360) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dr = 118.691730000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69878785-1.69883579) × cos(-1.17155497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388719473648275 × 6371000     		do = 118.724932891357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69878785-1.69883579) × cos(-1.17157360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388702308715586 × 6371000     		du = 118.719690279088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17155497)-sin(-1.17157360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388719473648275-0.388702308715586)×R²
    abs(1.69883579-1.69878785)×1.71649326896617e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71649326896617e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71649326896617e-05×40589641000000     		ar = 14091.3565521582m²