Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100972 / 98867
↖ ↑ ↗
← S 67.121952°
E 97.327881°		 ← 118.74 m → S 67.121952°
E 97.330627°		 →
↑
118.76 m
↓
↑
118.76 m
↓
S 67.123020°
E 97.327881°		 ← 118.74 m →
14 101 m²		 S 67.123020°
E 97.330627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770359039306641 y=0.754299163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770359039306641 × 217)
    floor (0.770359039306641 × 131072)
    floor (100972.5)     		tx = 100972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754299163818359 × 217)
    floor (0.754299163818359 × 131072)
    floor (98867.5)     		ty = 98867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100972 / 98867 ti = "17/100972/98867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100972/98867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100972 ÷ 217
    100972 ÷ 131072     		x = 0.770355224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98867 ÷ 217
    98867 ÷ 131072     		y = 0.754295349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770355224609375 × 2 - 1) × π
    0.54071044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69869197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754295349121094 × 2 - 1) × π
    -0.508590698242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.59778480123609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69869197} λ = 1.69869197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59778480123609))-π/2
    2×atan(0.202344254641497)-π/2
    2×0.199648631311527-π/2
    0.399297262623053-1.57079632675     		φ = -1.17149906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69869197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.327881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17149906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.121952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100972 KachelY 98867 1.69869197 -1.17149906 97.327881 -67.121952
    Oben rechts KachelX + 1 100973 KachelY 98867 1.69873991 -1.17149906 97.330627 -67.121952
    Unten links KachelX 100972 KachelY + 1 98868 1.69869197 -1.17151770 97.327881 -67.123020
    Unten rechts KachelX + 1 100973 KachelY + 1 98868 1.69873991 -1.17151770 97.330627 -67.123020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17149906--1.17151770) × R
    1.86400000001807e-05 × 6371000     		dl = 118.755440001151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17149906--1.17151770) × R
    1.86400000001807e-05 × 6371000     		dr = 118.755440001151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69869197-1.69873991) × cos(-1.17149906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388770986063516 × 6371000     		do = 118.740666108901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69869197-1.69873991) × cos(-1.17151770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388753812322319 × 6371000     		du = 118.735420806287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17149906)-sin(-1.17151770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388770986063516-0.388753812322319)×R²
    abs(1.69873991-1.69869197)×1.71737411971407e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71737411971407e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71737411971407e-05×40589641000000     		ar = 14100.7885959493m²