Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100971 / 98417
↖ ↑ ↗
← S 66.636645°
E 97.325134°		 ← 121.09 m → S 66.636645°
E 97.327881°		 →
↑
121.11 m
↓
↑
121.11 m
↓
S 66.637734°
E 97.325134°		 ← 121.09 m →
14 666 m²		 S 66.637734°
E 97.327881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770351409912109 y=0.750865936279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770351409912109 × 217)
    floor (0.770351409912109 × 131072)
    floor (100971.5)     		tx = 100971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750865936279297 × 217)
    floor (0.750865936279297 × 131072)
    floor (98417.5)     		ty = 98417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100971 / 98417 ti = "17/100971/98417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100971/98417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100971 ÷ 217
    100971 ÷ 131072     		x = 0.770347595214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98417 ÷ 217
    98417 ÷ 131072     		y = 0.750862121582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770347595214844 × 2 - 1) × π
    0.540695190429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.69864404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750862121582031 × 2 - 1) × π
    -0.501724243164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.57621319640707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69864404} λ = 1.69864404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57621319640707))-π/2
    2×atan(0.206756564141986)-π/2
    2×0.203883734637247-π/2
    0.407767469274494-1.57079632675     		φ = -1.16302886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69864404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.325134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16302886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.636645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100971 KachelY 98417 1.69864404 -1.16302886 97.325134 -66.636645
    Oben rechts KachelX + 1 100972 KachelY 98417 1.69869197 -1.16302886 97.327881 -66.636645
    Unten links KachelX 100971 KachelY + 1 98418 1.69864404 -1.16304787 97.325134 -66.637734
    Unten rechts KachelX + 1 100972 KachelY + 1 98418 1.69869197 -1.16304787 97.327881 -66.637734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16302886--1.16304787) × R
    1.90099999999305e-05 × 6371000     		dl = 121.112709999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16302886--1.16304787) × R
    1.90099999999305e-05 × 6371000     		dr = 121.112709999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69864404-1.69869197) × cos(-1.16302886) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396560833620462 × 6371000     		do = 121.094621172911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69864404-1.69869197) × cos(-1.16304787) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396543382208267 × 6371000     		du = 121.089292174256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16302886)-sin(-1.16304787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396560833620462-0.396543382208267)×R²
    abs(1.69869197-1.69864404)×1.74514121944469e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74514121944469e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74514121944469e-05×40589641000000     		ar = 14665.7750323547m²