Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100971 / 97747
↖ ↑ ↗
← S 65.896046°
E 97.325134°		 ← 124.71 m → S 65.896046°
E 97.327881°		 →
↑
124.74 m
↓
↑
124.74 m
↓
S 65.897167°
E 97.325134°		 ← 124.70 m →
15 556 m²		 S 65.897167°
E 97.327881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770351409912109 y=0.745754241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770351409912109 × 217)
    floor (0.770351409912109 × 131072)
    floor (100971.5)     		tx = 100971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745754241943359 × 217)
    floor (0.745754241943359 × 131072)
    floor (97747.5)     		ty = 97747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100971 / 97747 ti = "17/100971/97747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100971/97747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100971 ÷ 217
    100971 ÷ 131072     		x = 0.770347595214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97747 ÷ 217
    97747 ÷ 131072     		y = 0.745750427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770347595214844 × 2 - 1) × π
    0.540695190429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.69864404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745750427246094 × 2 - 1) × π
    -0.491500854492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.54409547366163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69864404} λ = 1.69864404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54409547366163))-π/2
    2×atan(0.213504904717502)-π/2
    2×0.210346683795657-π/2
    0.420693367591315-1.57079632675     		φ = -1.15010296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69864404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.325134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15010296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.896046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100971 KachelY 97747 1.69864404 -1.15010296 97.325134 -65.896046
    Oben rechts KachelX + 1 100972 KachelY 97747 1.69869197 -1.15010296 97.327881 -65.896046
    Unten links KachelX 100971 KachelY + 1 97748 1.69864404 -1.15012254 97.325134 -65.897167
    Unten rechts KachelX + 1 100972 KachelY + 1 97748 1.69869197 -1.15012254 97.327881 -65.897167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15010296--1.15012254) × R
    1.9580000000019e-05 × 6371000     		dl = 124.744180000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15010296--1.15012254) × R
    1.9580000000019e-05 × 6371000     		dr = 124.744180000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69864404-1.69869197) × cos(-1.15010296) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408393460543895 × 6371000     		do = 124.707856150485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69864404-1.69869197) × cos(-1.15012254) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408375587724264 × 6371000     		du = 124.702398470001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15010296)-sin(-1.15012254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408393460543895-0.408375587724264)×R²
    abs(1.69869197-1.69864404)×1.78728196317257e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78728196317257e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78728196317257e-05×40589641000000     		ar = 15556.238848465m²