Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100969 / 98883
↖ ↑ ↗
← S 67.139031°
E 97.319641°		 ← 118.66 m → S 67.139031°
E 97.322388°		 →
↑
118.69 m
↓
↑
118.69 m
↓
S 67.140098°
E 97.319641°		 ← 118.65 m →
14 083 m²		 S 67.140098°
E 97.322388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770336151123047 y=0.754421234130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770336151123047 × 217)
    floor (0.770336151123047 × 131072)
    floor (100969.5)     		tx = 100969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754421234130859 × 217)
    floor (0.754421234130859 × 131072)
    floor (98883.5)     		ty = 98883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100969 / 98883 ti = "17/100969/98883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100969/98883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100969 ÷ 217
    100969 ÷ 131072     		x = 0.770332336425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98883 ÷ 217
    98883 ÷ 131072     		y = 0.754417419433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770332336425781 × 2 - 1) × π
    0.540664672851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.69854816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754417419433594 × 2 - 1) × π
    -0.508834838867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.59855179163001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69854816} λ = 1.69854816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59855179163001))-π/2
    2×atan(0.202189118043667)-π/2
    2×0.199499592175138-π/2
    0.398999184350275-1.57079632675     		φ = -1.17179714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69854816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.319641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17179714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.139031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100969 KachelY 98883 1.69854816 -1.17179714 97.319641 -67.139031
    Oben rechts KachelX + 1 100970 KachelY 98883 1.69859610 -1.17179714 97.322388 -67.139031
    Unten links KachelX 100969 KachelY + 1 98884 1.69854816 -1.17181577 97.319641 -67.140098
    Unten rechts KachelX + 1 100970 KachelY + 1 98884 1.69859610 -1.17181577 97.322388 -67.140098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17179714--1.17181577) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dl = 118.691730000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17179714--1.17181577) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dr = 118.691730000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69854816-1.69859610) × cos(-1.17179714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388496337431071 × 6371000     		do = 118.656781347097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69854816-1.69859610) × cos(-1.17181577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388479170745166 × 6371000     		du = 118.651538199351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17179714)-sin(-1.17181577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388496337431071-0.388479170745166)×R²
    abs(1.69859610-1.69854816)×1.71666859049013e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71666859049013e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71666859049013e-05×40589641000000     		ar = 14083.2674957193m²