Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100968 / 98420
↖ ↑ ↗
← S 66.639912°
E 97.316895°		 ← 121.08 m → S 66.639912°
E 97.319641°		 →
↑
121.11 m
↓
↑
121.11 m
↓
S 66.641001°
E 97.316895°		 ← 121.07 m →
14 664 m²		 S 66.641001°
E 97.319641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770328521728516 y=0.750888824462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770328521728516 × 217)
    floor (0.770328521728516 × 131072)
    floor (100968.5)     		tx = 100968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750888824462891 × 217)
    floor (0.750888824462891 × 131072)
    floor (98420.5)     		ty = 98420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100968 / 98420 ti = "17/100968/98420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100968/98420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100968 ÷ 217
    100968 ÷ 131072     		x = 0.77032470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98420 ÷ 217
    98420 ÷ 131072     		y = 0.750885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77032470703125 × 2 - 1) × π
    0.5406494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69850023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.50177001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57635700710593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69850023} λ = 1.69850023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57635700710593))-π/2
    2×atan(0.20672683247392)-π/2
    2×0.203855221673961-π/2
    0.407710443347922-1.57079632675     		φ = -1.16308588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69850023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.316895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16308588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.639912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100968 KachelY 98420 1.69850023 -1.16308588 97.316895 -66.639912
    Oben rechts KachelX + 1 100969 KachelY 98420 1.69854816 -1.16308588 97.319641 -66.639912
    Unten links KachelX 100968 KachelY + 1 98421 1.69850023 -1.16310489 97.316895 -66.641001
    Unten rechts KachelX + 1 100969 KachelY + 1 98421 1.69854816 -1.16310489 97.319641 -66.641001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16308588--1.16310489) × R
    1.90100000001525e-05 × 6371000     		dl = 121.112710000972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16308588--1.16310489) × R
    1.90100000001525e-05 × 6371000     		dr = 121.112710000972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69850023-1.69854816) × cos(-1.16308588) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396508488134287 × 6371000     		do = 121.078636848991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69850023-1.69854816) × cos(-1.16310489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396491036292277 × 6371000     		du = 121.073307719088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16308588)-sin(-1.16310489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396508488134287-0.396491036292277)×R²
    abs(1.69854816-1.69850023)×1.74518420090197e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74518420090197e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74518420090197e-05×40589641000000     		ar = 14663.8391198175m²