Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100966 / 99208
↖ ↑ ↗
← S 67.483338°
E 97.311401°		 ← 116.96 m → S 67.483338°
E 97.314148°		 →
↑
116.97 m
↓
↑
116.97 m
↓
S 67.484390°
E 97.311401°		 ← 116.96 m →
13 681 m²		 S 67.484390°
E 97.314148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770313262939453 y=0.756900787353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770313262939453 × 217)
    floor (0.770313262939453 × 131072)
    floor (100966.5)     		tx = 100966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756900787353516 × 217)
    floor (0.756900787353516 × 131072)
    floor (99208.5)     		ty = 99208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100966 / 99208 ti = "17/100966/99208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100966/99208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100966 ÷ 217
    100966 ÷ 131072     		x = 0.770309448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99208 ÷ 217
    99208 ÷ 131072     		y = 0.75689697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770309448242188 × 2 - 1) × π
    0.540618896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69840435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75689697265625 × 2 - 1) × π
    -0.5137939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61413128400653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69840435} λ = 1.69840435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61413128400653))-π/2
    2×atan(0.19906352501708)-π/2
    2×0.196494941185368-π/2
    0.392989882370736-1.57079632675     		φ = -1.17780644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69840435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.311401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17780644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.483338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100966 KachelY 99208 1.69840435 -1.17780644 97.311401 -67.483338
    Oben rechts KachelX + 1 100967 KachelY 99208 1.69845229 -1.17780644 97.314148 -67.483338
    Unten links KachelX 100966 KachelY + 1 99209 1.69840435 -1.17782480 97.311401 -67.484390
    Unten rechts KachelX + 1 100967 KachelY + 1 99209 1.69845229 -1.17782480 97.314148 -67.484390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17780644--1.17782480) × R
    1.83600000001061e-05 × 6371000     		dl = 116.971560000676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17780644--1.17782480) × R
    1.83600000001061e-05 × 6371000     		dr = 116.971560000676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69840435-1.69845229) × cos(-1.17780644) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.382952085056296 × 6371000     		do = 116.963423963327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69840435-1.69845229) × cos(-1.17782480) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.382935124607469 × 6371000     		du = 116.958243805694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17780644)-sin(-1.17782480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382952085056296-0.382935124607469)×R²
    abs(1.69845229-1.69840435)×1.69604488271524e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.69604488271524e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.69604488271524e-05×40589641000000     		ar = 13681.091198884m²