Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100966 / 98021
↖ ↑ ↗
← S 66.201551°
E 97.311401°		 ← 123.25 m → S 66.201551°
E 97.314148°		 →
↑
123.22 m
↓
↑
123.22 m
↓
S 66.202659°
E 97.311401°		 ← 123.24 m →
15 185 m²		 S 66.202659°
E 97.314148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770313262939453 y=0.747844696044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770313262939453 × 217)
    floor (0.770313262939453 × 131072)
    floor (100966.5)     		tx = 100966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747844696044922 × 217)
    floor (0.747844696044922 × 131072)
    floor (98021.5)     		ty = 98021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100966 / 98021 ti = "17/100966/98021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100966/98021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100966 ÷ 217
    100966 ÷ 131072     		x = 0.770309448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98021 ÷ 217
    98021 ÷ 131072     		y = 0.747840881347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770309448242188 × 2 - 1) × π
    0.540618896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69840435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747840881347656 × 2 - 1) × π
    -0.495681762695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.55723018415752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69840435} λ = 1.69840435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55723018415752))-π/2
    2×atan(0.210718916233929)-π/2
    2×0.207680645693024-π/2
    0.415361291386048-1.57079632675     		φ = -1.15543504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69840435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.311401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15543504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.201551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100966 KachelY 98021 1.69840435 -1.15543504 97.311401 -66.201551
    Oben rechts KachelX + 1 100967 KachelY 98021 1.69845229 -1.15543504 97.314148 -66.201551
    Unten links KachelX 100966 KachelY + 1 98022 1.69840435 -1.15545438 97.311401 -66.202659
    Unten rechts KachelX + 1 100967 KachelY + 1 98022 1.69845229 -1.15545438 97.314148 -66.202659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15543504--1.15545438) × R
    1.93399999999233e-05 × 6371000     		dl = 123.215139999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15543504--1.15545438) × R
    1.93399999999233e-05 × 6371000     		dr = 123.215139999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69840435-1.69845229) × cos(-1.15543504) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.403520523507006 × 6371000     		do = 123.245554497805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69840435-1.69845229) × cos(-1.15545438) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.403502827900262 × 6371000     		du = 123.24014980402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15543504)-sin(-1.15545438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403520523507006-0.403502827900262)×R²
    abs(1.69845229-1.69840435)×1.76956067440837e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.76956067440837e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.76956067440837e-05×40589641000000     		ar = 15185.3852822375m²