Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100965 / 98027
↖ ↑ ↗
← S 66.208200°
E 97.308655°		 ← 123.19 m → S 66.208200°
E 97.311401°		 →
↑
123.22 m
↓
↑
123.22 m
↓
S 66.209308°
E 97.308655°		 ← 123.18 m →
15 178 m²		 S 66.209308°
E 97.311401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770305633544922 y=0.747890472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770305633544922 × 217)
    floor (0.770305633544922 × 131072)
    floor (100965.5)     		tx = 100965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747890472412109 × 217)
    floor (0.747890472412109 × 131072)
    floor (98027.5)     		ty = 98027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100965 / 98027 ti = "17/100965/98027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100965/98027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100965 ÷ 217
    100965 ÷ 131072     		x = 0.770301818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98027 ÷ 217
    98027 ÷ 131072     		y = 0.747886657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770301818847656 × 2 - 1) × π
    0.540603637695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.69835642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747886657714844 × 2 - 1) × π
    -0.495773315429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.55751780555524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69835642} λ = 1.69835642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55751780555524))-π/2
    2×atan(0.210658317679854)-π/2
    2×0.207622622759201-π/2
    0.415245245518402-1.57079632675     		φ = -1.15555108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69835642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.308655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15555108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.208200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100965 KachelY 98027 1.69835642 -1.15555108 97.308655 -66.208200
    Oben rechts KachelX + 1 100966 KachelY 98027 1.69840435 -1.15555108 97.311401 -66.208200
    Unten links KachelX 100965 KachelY + 1 98028 1.69835642 -1.15557042 97.308655 -66.209308
    Unten rechts KachelX + 1 100966 KachelY + 1 98028 1.69840435 -1.15557042 97.311401 -66.209308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15555108--1.15557042) × R
    1.93400000001454e-05 × 6371000     		dl = 123.215140000926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15555108--1.15557042) × R
    1.93400000001454e-05 × 6371000     		dr = 123.215140000926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69835642-1.69840435) × cos(-1.15555108) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.403414347602807 × 6371000     		do = 123.187424114624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69835642-1.69840435) × cos(-1.15557042) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.403396651090615 × 6371000     		du = 123.182020271737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15555108)-sin(-1.15557042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403414347602807-0.403396651090615)×R²
    abs(1.69840435-1.69835642)×1.76965121915784e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.76965121915784e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.76965121915784e-05×40589641000000     		ar = 15178.2227915734m²