Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100964 / 98028
↖ ↑ ↗
← S 66.209308°
E 97.305908°		 ← 123.21 m → S 66.209308°
E 97.308655°		 →
↑
123.22 m
↓
↑
123.22 m
↓
S 66.210416°
E 97.305908°		 ← 123.20 m →
15 181 m²		 S 66.210416°
E 97.308655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770298004150391 y=0.747898101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770298004150391 × 217)
    floor (0.770298004150391 × 131072)
    floor (100964.5)     		tx = 100964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747898101806641 × 217)
    floor (0.747898101806641 × 131072)
    floor (98028.5)     		ty = 98028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100964 / 98028 ti = "17/100964/98028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100964/98028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100964 ÷ 217
    100964 ÷ 131072     		x = 0.770294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98028 ÷ 217
    98028 ÷ 131072     		y = 0.747894287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770294189453125 × 2 - 1) × π
    0.54058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69830848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747894287109375 × 2 - 1) × π
    -0.49578857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55756574245486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69830848} λ = 1.69830848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55756574245486))-π/2
    2×atan(0.210648219615262)-π/2
    2×0.207612953754744-π/2
    0.415225907509489-1.57079632675     		φ = -1.15557042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69830848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.305908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15557042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.209308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100964 KachelY 98028 1.69830848 -1.15557042 97.305908 -66.209308
    Oben rechts KachelX + 1 100965 KachelY 98028 1.69835642 -1.15557042 97.308655 -66.209308
    Unten links KachelX 100964 KachelY + 1 98029 1.69830848 -1.15558976 97.305908 -66.210416
    Unten rechts KachelX + 1 100965 KachelY + 1 98029 1.69835642 -1.15558976 97.308655 -66.210416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15557042--1.15558976) × R
    1.93399999999233e-05 × 6371000     		dl = 123.215139999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15557042--1.15558976) × R
    1.93399999999233e-05 × 6371000     		dr = 123.215139999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69830848-1.69835642) × cos(-1.15557042) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.403396651090615 × 6371000     		do = 123.207720673363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69830848-1.69835642) × cos(-1.15558976) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.403378954427539 × 6371000     		du = 123.202315656947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15557042)-sin(-1.15558976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403396651090615-0.403378954427539)×R²
    abs(1.69835642-1.69830848)×1.769666307605e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.769666307605e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.769666307605e-05×40589641000000     		ar = 15180.7235621705m²