Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100962 / 99174
↖ ↑ ↗
← S 67.447550°
E 97.300415°		 ← 117.12 m → S 67.447550°
E 97.303161°		 →
↑
117.10 m
↓
↑
117.10 m
↓
S 67.448603°
E 97.300415°		 ← 117.11 m →
13 714 m²		 S 67.448603°
E 97.303161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770282745361328 y=0.756641387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770282745361328 × 217)
    floor (0.770282745361328 × 131072)
    floor (100962.5)     		tx = 100962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756641387939453 × 217)
    floor (0.756641387939453 × 131072)
    floor (99174.5)     		ty = 99174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100962 / 99174 ti = "17/100962/99174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100962/99174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100962 ÷ 217
    100962 ÷ 131072     		x = 0.770278930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99174 ÷ 217
    99174 ÷ 131072     		y = 0.756637573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770278930664062 × 2 - 1) × π
    0.540557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.69821261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756637573242188 × 2 - 1) × π
    -0.513275146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61250142941945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69821261} λ = 1.69821261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61250142941945))-π/2
    2×atan(0.199388234158912)-π/2
    2×0.196807254319539-π/2
    0.393614508639077-1.57079632675     		φ = -1.17718182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69821261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.300415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17718182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.447550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100962 KachelY 99174 1.69821261 -1.17718182 97.300415 -67.447550
    Oben rechts KachelX + 1 100963 KachelY 99174 1.69826054 -1.17718182 97.303161 -67.447550
    Unten links KachelX 100962 KachelY + 1 99175 1.69821261 -1.17720020 97.300415 -67.448603
    Unten rechts KachelX + 1 100963 KachelY + 1 99175 1.69826054 -1.17720020 97.303161 -67.448603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17718182--1.17720020) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dl = 117.098979999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17718182--1.17720020) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dr = 117.098979999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69821261-1.69826054) × cos(-1.17718182) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383529014411927 × 6371000     		do = 117.115198404797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69821261-1.69826054) × cos(-1.17720020) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383512039887297 × 6371000     		du = 117.110015029498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17718182)-sin(-1.17720020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383529014411927-0.383512039887297)×R²
    abs(1.69826054-1.69821261)×1.6974524630009e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6974524630009e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6974524630009e-05×40589641000000     		ar = 13713.7667921167m²