Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100960 / 98894
↖ ↑ ↗
← S 67.150765°
E 97.294922°		 ← 118.60 m → S 67.150765°
E 97.297669°		 →
↑
118.56 m
↓
↑
118.56 m
↓
S 67.151832°
E 97.294922°		 ← 118.59 m →
14 061 m²		 S 67.151832°
E 97.297669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770267486572266 y=0.754505157470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770267486572266 × 217)
    floor (0.770267486572266 × 131072)
    floor (100960.5)     		tx = 100960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754505157470703 × 217)
    floor (0.754505157470703 × 131072)
    floor (98894.5)     		ty = 98894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100960 / 98894 ti = "17/100960/98894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100960/98894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100960 ÷ 217
    100960 ÷ 131072     		x = 0.770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98894 ÷ 217
    98894 ÷ 131072     		y = 0.754501342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770263671875 × 2 - 1) × π
    0.54052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69811673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754501342773438 × 2 - 1) × π
    -0.509002685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59907909752583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69811673} λ = 1.69811673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59907909752583))-π/2
    2×atan(0.202082530634207)-π/2
    2×0.199397188852025-π/2
    0.39879437770405-1.57079632675     		φ = -1.17200195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69811673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17200195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.150765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100960 KachelY 98894 1.69811673 -1.17200195 97.294922 -67.150765
    Oben rechts KachelX + 1 100961 KachelY 98894 1.69816467 -1.17200195 97.297669 -67.150765
    Unten links KachelX 100960 KachelY + 1 98895 1.69811673 -1.17202056 97.294922 -67.151832
    Unten rechts KachelX + 1 100961 KachelY + 1 98895 1.69816467 -1.17202056 97.297669 -67.151832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17200195--1.17202056) × R
    1.8609999999919e-05 × 6371000     		dl = 118.564309999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17200195--1.17202056) × R
    1.8609999999919e-05 × 6371000     		dr = 118.564309999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69811673-1.69816467) × cos(-1.17200195) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388307607054913 × 6371000     		do = 118.599138232298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69811673-1.69816467) × cos(-1.17202056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388290457317791 × 6371000     		du = 118.593900261147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17200195)-sin(-1.17202056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388307607054913-0.388290457317791)×R²
    abs(1.69816467-1.69811673)×1.71497371216911e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71497371216911e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71497371216911e-05×40589641000000     		ar = 14061.3144732375m²