Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100958 / 99120
↖ ↑ ↗
← S 67.390599°
E 97.289429°		 ← 117.42 m → S 67.390599°
E 97.292176°		 →
↑
117.42 m
↓
↑
117.42 m
↓
S 67.391655°
E 97.289429°		 ← 117.41 m →
13 787 m²		 S 67.391655°
E 97.292176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770252227783203 y=0.756229400634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770252227783203 × 217)
    floor (0.770252227783203 × 131072)
    floor (100958.5)     		tx = 100958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756229400634766 × 217)
    floor (0.756229400634766 × 131072)
    floor (99120.5)     		ty = 99120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100958 / 99120 ti = "17/100958/99120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100958/99120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100958 ÷ 217
    100958 ÷ 131072     		x = 0.770248413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99120 ÷ 217
    99120 ÷ 131072     		y = 0.7562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770248413085938 × 2 - 1) × π
    0.540496826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69802086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7562255859375 × 2 - 1) × π
    -0.512451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60991283683997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69802086} λ = 1.69802086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60991283683997))-π/2
    2×atan(0.199905037670576)-π/2
    2×0.197304248250465-π/2
    0.394608496500929-1.57079632675     		φ = -1.17618783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69802086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.289429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17618783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.390599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100958 KachelY 99120 1.69802086 -1.17618783 97.289429 -67.390599
    Oben rechts KachelX + 1 100959 KachelY 99120 1.69806880 -1.17618783 97.292176 -67.390599
    Unten links KachelX 100958 KachelY + 1 99121 1.69802086 -1.17620626 97.289429 -67.391655
    Unten rechts KachelX + 1 100959 KachelY + 1 99121 1.69806880 -1.17620626 97.292176 -67.391655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17618783--1.17620626) × R
    1.84300000001247e-05 × 6371000     		dl = 117.417530000795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17618783--1.17620626) × R
    1.84300000001247e-05 × 6371000     		dr = 117.417530000795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69802086-1.69806880) × cos(-1.17618783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384446803213538 × 6371000     		do = 117.419949362052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69802086-1.69806880) × cos(-1.17620626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384429789546323 × 6371000     		du = 117.414752950153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17618783)-sin(-1.17620626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384446803213538-0.384429789546323)×R²
    abs(1.69806880-1.69802086)×1.70136672147381e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70136672147381e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70136672147381e-05×40589641000000     		ar = 13786.8553522361m²