Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100957 / 99121
↖ ↑ ↗
← S 67.391655°
E 97.286682°		 ← 117.41 m → S 67.391655°
E 97.289429°		 →
↑
117.42 m
↓
↑
117.42 m
↓
S 67.392710°
E 97.286682°		 ← 117.41 m →
13 786 m²		 S 67.392710°
E 97.289429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770244598388672 y=0.756237030029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770244598388672 × 217)
    floor (0.770244598388672 × 131072)
    floor (100957.5)     		tx = 100957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756237030029297 × 217)
    floor (0.756237030029297 × 131072)
    floor (99121.5)     		ty = 99121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100957 / 99121 ti = "17/100957/99121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100957/99121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100957 ÷ 217
    100957 ÷ 131072     		x = 0.770240783691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99121 ÷ 217
    99121 ÷ 131072     		y = 0.756233215332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770240783691406 × 2 - 1) × π
    0.540481567382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.69797292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756233215332031 × 2 - 1) × π
    -0.512466430664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.60996077373959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69797292} λ = 1.69797292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60996077373959))-π/2
    2×atan(0.199895455072533)-π/2
    2×0.197295033860447-π/2
    0.394590067720894-1.57079632675     		φ = -1.17620626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69797292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.286682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17620626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.391655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100957 KachelY 99121 1.69797292 -1.17620626 97.286682 -67.391655
    Oben rechts KachelX + 1 100958 KachelY 99121 1.69802086 -1.17620626 97.289429 -67.391655
    Unten links KachelX 100957 KachelY + 1 99122 1.69797292 -1.17622469 97.286682 -67.392710
    Unten rechts KachelX + 1 100958 KachelY + 1 99122 1.69802086 -1.17622469 97.289429 -67.392710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17620626--1.17622469) × R
    1.84299999999027e-05 × 6371000     		dl = 117.41752999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17620626--1.17622469) × R
    1.84299999999027e-05 × 6371000     		dr = 117.41752999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69797292-1.69802086) × cos(-1.17620626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384429789546323 × 6371000     		do = 117.414752950153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69797292-1.69802086) × cos(-1.17622469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384412775748531 × 6371000     		du = 117.409556498372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17620626)-sin(-1.17622469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384429789546323-0.384412775748531)×R²
    abs(1.69802086-1.69797292)×1.70137977918428e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70137977918428e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70137977918428e-05×40589641000000     		ar = 13786.2452000946m²