Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100954 / 98891
↖ ↑ ↗
← S 67.147565°
E 97.278442°		 ← 118.61 m → S 67.147565°
E 97.281189°		 →
↑
118.63 m
↓
↑
118.63 m
↓
S 67.148632°
E 97.278442°		 ← 118.61 m →
14 071 m²		 S 67.148632°
E 97.281189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770221710205078 y=0.754482269287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770221710205078 × 217)
    floor (0.770221710205078 × 131072)
    floor (100954.5)     		tx = 100954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754482269287109 × 217)
    floor (0.754482269287109 × 131072)
    floor (98891.5)     		ty = 98891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100954 / 98891 ti = "17/100954/98891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100954/98891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100954 ÷ 217
    100954 ÷ 131072     		x = 0.770217895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98891 ÷ 217
    98891 ÷ 131072     		y = 0.754478454589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770217895507812 × 2 - 1) × π
    0.540435791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69782911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754478454589844 × 2 - 1) × π
    -0.508956909179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.59893528682697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69782911} λ = 1.69782911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59893528682697))-π/2
    2×atan(0.202111594353951)-π/2
    2×0.199425112096477-π/2
    0.398850224192955-1.57079632675     		φ = -1.17194610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69782911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.278442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17194610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.147565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100954 KachelY 98891 1.69782911 -1.17194610 97.278442 -67.147565
    Oben rechts KachelX + 1 100955 KachelY 98891 1.69787705 -1.17194610 97.281189 -67.147565
    Unten links KachelX 100954 KachelY + 1 98892 1.69782911 -1.17196472 97.278442 -67.148632
    Unten rechts KachelX + 1 100955 KachelY + 1 98892 1.69787705 -1.17196472 97.281189 -67.148632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17194610--1.17196472) × R
    1.86200000000802e-05 × 6371000     		dl = 118.628020000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17194610--1.17196472) × R
    1.86200000000802e-05 × 6371000     		dr = 118.628020000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69782911-1.69787705) × cos(-1.17194610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388359073889517 × 6371000     		do = 118.614857528343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69782911-1.69787705) × cos(-1.17196472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388341915340854 × 6371000     		du = 118.60961686592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17194610)-sin(-1.17196472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388359073889517-0.388341915340854)×R²
    abs(1.69787705-1.69782911)×1.715854866291e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.715854866291e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.715854866291e-05×40589641000000     		ar = 14070.7348468353m²