Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100951 / 97685
↖ ↑ ↗
← S 65.826407°
E 97.270203°		 ← 125.07 m → S 65.826407°
E 97.272949°		 →
↑
125.06 m
↓
↑
125.06 m
↓
S 65.827531°
E 97.270203°		 ← 125.07 m →
15 642 m²		 S 65.827531°
E 97.272949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770198822021484 y=0.745281219482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770198822021484 × 217)
    floor (0.770198822021484 × 131072)
    floor (100951.5)     		tx = 100951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745281219482422 × 217)
    floor (0.745281219482422 × 131072)
    floor (97685.5)     		ty = 97685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100951 / 97685 ti = "17/100951/97685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100951/97685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100951 ÷ 217
    100951 ÷ 131072     		x = 0.770195007324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97685 ÷ 217
    97685 ÷ 131072     		y = 0.745277404785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770195007324219 × 2 - 1) × π
    0.540390014648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.69768530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745277404785156 × 2 - 1) × π
    -0.490554809570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.54112338588519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69768530} λ = 1.69768530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54112338588519))-π/2
    2×atan(0.214140403946974)-π/2
    2×0.210954398226966-π/2
    0.421908796453932-1.57079632675     		φ = -1.14888753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69768530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.270203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14888753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.826407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100951 KachelY 97685 1.69768530 -1.14888753 97.270203 -65.826407
    Oben rechts KachelX + 1 100952 KachelY 97685 1.69773324 -1.14888753 97.272949 -65.826407
    Unten links KachelX 100951 KachelY + 1 97686 1.69768530 -1.14890716 97.270203 -65.827531
    Unten rechts KachelX + 1 100952 KachelY + 1 97686 1.69773324 -1.14890716 97.272949 -65.827531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14888753--1.14890716) × R
    1.96299999999372e-05 × 6371000     		dl = 125.0627299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14888753--1.14890716) × R
    1.96299999999372e-05 × 6371000     		dr = 125.0627299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69768530-1.69773324) × cos(-1.14888753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409502610405475 × 6371000     		do = 125.072637814942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69768530-1.69773324) × cos(-1.14890716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409484701701977 × 6371000     		du = 125.067168035924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14888753)-sin(-1.14890716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409502610405475-0.409484701701977)×R²
    abs(1.69773324-1.69768530)×1.79087034974934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79087034974934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79087034974934e-05×40589641000000     		ar = 15641.5835011815m²