Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100947 / 98846
↖ ↑ ↗
← S 67.099518°
E 97.259216°		 ← 118.85 m → S 67.099518°
E 97.261963°		 →
↑
118.82 m
↓
↑
118.82 m
↓
S 67.100587°
E 97.259216°		 ← 118.85 m →
14 121 m²		 S 67.100587°
E 97.261963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770168304443359 y=0.754138946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770168304443359 × 217)
    floor (0.770168304443359 × 131072)
    floor (100947.5)     		tx = 100947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754138946533203 × 217)
    floor (0.754138946533203 × 131072)
    floor (98846.5)     		ty = 98846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100947 / 98846 ti = "17/100947/98846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100947/98846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100947 ÷ 217
    100947 ÷ 131072     		x = 0.770164489746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98846 ÷ 217
    98846 ÷ 131072     		y = 0.754135131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770164489746094 × 2 - 1) × π
    0.540328979492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.69749355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754135131835938 × 2 - 1) × π
    -0.508270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59677812634407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69749355} λ = 1.69749355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59677812634407))-π/2
    2×atan(0.202548052083863)-π/2
    2×0.199844405074306-π/2
    0.399688810148613-1.57079632675     		φ = -1.17110752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69749355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.259216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17110752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.099518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100947 KachelY 98846 1.69749355 -1.17110752 97.259216 -67.099518
    Oben rechts KachelX + 1 100948 KachelY 98846 1.69754149 -1.17110752 97.261963 -67.099518
    Unten links KachelX 100947 KachelY + 1 98847 1.69749355 -1.17112617 97.259216 -67.100587
    Unten rechts KachelX + 1 100948 KachelY + 1 98847 1.69754149 -1.17112617 97.261963 -67.100587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17110752--1.17112617) × R
    1.86499999998979e-05 × 6371000     		dl = 118.81914999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17110752--1.17112617) × R
    1.86499999998979e-05 × 6371000     		dr = 118.81914999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69749355-1.69754149) × cos(-1.17110752) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.389131695534585 × 6371000     		do = 118.850836066578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69749355-1.69754149) × cos(-1.17112617) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.389114515420118 × 6371000     		du = 118.845588817403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17110752)-sin(-1.17112617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389131695534585-0.389114515420118)×R²
    abs(1.69754149-1.69749355)×1.71801144676076e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.71801144676076e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.71801144676076e-05×40589641000000     		ar = 14121.4435816957m²