Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100945 / 99105
↖ ↑ ↗
← S 67.374755°
E 97.253723°		 ← 117.50 m → S 67.374755°
E 97.256470°		 →
↑
117.48 m
↓
↑
117.48 m
↓
S 67.375811°
E 97.253723°		 ← 117.49 m →
13 803 m²		 S 67.375811°
E 97.256470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770153045654297 y=0.756114959716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770153045654297 × 217)
    floor (0.770153045654297 × 131072)
    floor (100945.5)     		tx = 100945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756114959716797 × 217)
    floor (0.756114959716797 × 131072)
    floor (99105.5)     		ty = 99105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100945 / 99105 ti = "17/100945/99105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100945/99105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100945 ÷ 217
    100945 ÷ 131072     		x = 0.770149230957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99105 ÷ 217
    99105 ÷ 131072     		y = 0.756111145019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770149230957031 × 2 - 1) × π
    0.540298461914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.69739768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756111145019531 × 2 - 1) × π
    -0.512222290039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.60919378334567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69739768} λ = 1.69739768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60919378334567))-π/2
    2×atan(0.200048831778073)-π/2
    2×0.197442513041684-π/2
    0.394885026083369-1.57079632675     		φ = -1.17591130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69739768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.253723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17591130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.374755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100945 KachelY 99105 1.69739768 -1.17591130 97.253723 -67.374755
    Oben rechts KachelX + 1 100946 KachelY 99105 1.69744562 -1.17591130 97.256470 -67.374755
    Unten links KachelX 100945 KachelY + 1 99106 1.69739768 -1.17592974 97.253723 -67.375811
    Unten rechts KachelX + 1 100946 KachelY + 1 99106 1.69744562 -1.17592974 97.256470 -67.375811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17591130--1.17592974) × R
    1.84399999998419e-05 × 6371000     		dl = 117.481239998993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17591130--1.17592974) × R
    1.84399999998419e-05 × 6371000     		dr = 117.481239998993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69739768-1.69744562) × cos(-1.17591130) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.384702066391816 × 6371000     		do = 117.497913307717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69739768-1.69744562) × cos(-1.17592974) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.384685045454043 × 6371000     		du = 117.492714675202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17591130)-sin(-1.17592974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384702066391816-0.384685045454043)×R²
    abs(1.69744562-1.69739768)×1.70209377731712e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.70209377731712e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.70209377731712e-05×40589641000000     		ar = 13803.4951822686m²