Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100943 / 99505
↖ ↑ ↗
← S 67.793679°
E 97.248230°		 ← 115.43 m → S 67.793679°
E 97.250976°		 →
↑
115.44 m
↓
↑
115.44 m
↓
S 67.794717°
E 97.248230°		 ← 115.43 m →
13 326 m²		 S 67.794717°
E 97.250976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770137786865234 y=0.759166717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770137786865234 × 217)
    floor (0.770137786865234 × 131072)
    floor (100943.5)     		tx = 100943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759166717529297 × 217)
    floor (0.759166717529297 × 131072)
    floor (99505.5)     		ty = 99505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100943 / 99505 ti = "17/100943/99505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100943/99505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100943 ÷ 217
    100943 ÷ 131072     		x = 0.770133972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99505 ÷ 217
    99505 ÷ 131072     		y = 0.759162902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770133972167969 × 2 - 1) × π
    0.540267944335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.69730180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759162902832031 × 2 - 1) × π
    -0.518325805664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.62836854319369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69730180} λ = 1.69730180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62836854319369))-π/2
    2×atan(0.196249485654138)-π/2
    2×0.193786708817793-π/2
    0.387573417635586-1.57079632675     		φ = -1.18322291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69730180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.248230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18322291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.793679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100943 KachelY 99505 1.69730180 -1.18322291 97.248230 -67.793679
    Oben rechts KachelX + 1 100944 KachelY 99505 1.69734974 -1.18322291 97.250976 -67.793679
    Unten links KachelX 100943 KachelY + 1 99506 1.69730180 -1.18324103 97.248230 -67.794717
    Unten rechts KachelX + 1 100944 KachelY + 1 99506 1.69734974 -1.18324103 97.250976 -67.794717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18322291--1.18324103) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dl = 115.442520000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18322291--1.18324103) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dr = 115.442520000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69730180-1.69734974) × cos(-1.18322291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377942929202528 × 6371000     		do = 115.433498829374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69730180-1.69734974) × cos(-1.18324103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377926153120911 × 6371000     		du = 115.428374982232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18322291)-sin(-1.18324103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377942929202528-0.377926153120911)×R²
    abs(1.69734974-1.69730180)×1.67760816169316e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67760816169316e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67760816169316e-05×40589641000000     		ar = 13325.6382428059m²