Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100940 / 99068
↖ ↑ ↗
← S 67.335628°
E 97.239990°		 ← 117.69 m → S 67.335628°
E 97.242737°		 →
↑
117.67 m
↓
↑
117.67 m
↓
S 67.336686°
E 97.239990°		 ← 117.69 m →
13 849 m²		 S 67.336686°
E 97.242737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770114898681641 y=0.755832672119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770114898681641 × 217)
    floor (0.770114898681641 × 131072)
    floor (100940.5)     		tx = 100940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755832672119141 × 217)
    floor (0.755832672119141 × 131072)
    floor (99068.5)     		ty = 99068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100940 / 99068 ti = "17/100940/99068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100940/99068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100940 ÷ 217
    100940 ÷ 131072     		x = 0.770111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99068 ÷ 217
    99068 ÷ 131072     		y = 0.755828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770111083984375 × 2 - 1) × π
    0.54022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69715799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755828857421875 × 2 - 1) × π
    -0.51165771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60742011805972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69715799} λ = 1.69715799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60742011805972))-π/2
    2×atan(0.200403966298275)-π/2
    2×0.197783958790213-π/2
    0.395567917580426-1.57079632675     		φ = -1.17522841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69715799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.239990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17522841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.335628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100940 KachelY 99068 1.69715799 -1.17522841 97.239990 -67.335628
    Oben rechts KachelX + 1 100941 KachelY 99068 1.69720593 -1.17522841 97.242737 -67.335628
    Unten links KachelX 100940 KachelY + 1 99069 1.69715799 -1.17524688 97.239990 -67.336686
    Unten rechts KachelX + 1 100941 KachelY + 1 99069 1.69720593 -1.17524688 97.242737 -67.336686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17522841--1.17524688) × R
    1.84700000001037e-05 × 6371000     		dl = 117.672370000661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17522841--1.17524688) × R
    1.84700000001037e-05 × 6371000     		dr = 117.672370000661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69715799-1.69720593) × cos(-1.17522841) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385332311974609 × 6371000     		do = 117.690406530679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69715799-1.69720593) × cos(-1.17524688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385315268201505 × 6371000     		du = 117.685200923666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17522841)-sin(-1.17524688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385332311974609-0.385315268201505)×R²
    abs(1.69720593-1.69715799)×1.70437731042972e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70437731042972e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70437731042972e-05×40589641000000     		ar = 13848.6027850423m²