Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100939 / 97706
↖ ↑ ↗
← S 65.850015°
E 97.237244°		 ← 124.93 m → S 65.850015°
E 97.239990°		 →
↑
124.94 m
↓
↑
124.94 m
↓
S 65.851139°
E 97.237244°		 ← 124.93 m →
15 608 m²		 S 65.851139°
E 97.239990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770107269287109 y=0.745441436767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770107269287109 × 217)
    floor (0.770107269287109 × 131072)
    floor (100939.5)     		tx = 100939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745441436767578 × 217)
    floor (0.745441436767578 × 131072)
    floor (97706.5)     		ty = 97706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100939 / 97706 ti = "17/100939/97706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100939/97706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100939 ÷ 217
    100939 ÷ 131072     		x = 0.770103454589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97706 ÷ 217
    97706 ÷ 131072     		y = 0.745437622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770103454589844 × 2 - 1) × π
    0.540206909179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.69711006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745437622070312 × 2 - 1) × π
    -0.490875244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54213006077721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69711006} λ = 1.69711006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54213006077721))-π/2
    2×atan(0.213924942646889)-π/2
    2×0.21074837485516-π/2
    0.42149674971032-1.57079632675     		φ = -1.14929958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69711006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.237244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14929958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.850015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100939 KachelY 97706 1.69711006 -1.14929958 97.237244 -65.850015
    Oben rechts KachelX + 1 100940 KachelY 97706 1.69715799 -1.14929958 97.239990 -65.850015
    Unten links KachelX 100939 KachelY + 1 97707 1.69711006 -1.14931919 97.237244 -65.851139
    Unten rechts KachelX + 1 100940 KachelY + 1 97707 1.69715799 -1.14931919 97.239990 -65.851139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14929958--1.14931919) × R
    1.96099999998367e-05 × 6371000     		dl = 124.93530999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14929958--1.14931919) × R
    1.96099999998367e-05 × 6371000     		dr = 124.93530999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69711006-1.69715799) × cos(-1.14929958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409126658751371 × 6371000     		do = 124.931747043512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69711006-1.69715799) × cos(-1.14931919) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.4091087649869 × 6371000     		du = 124.926282967269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14929958)-sin(-1.14931919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409126658751371-0.4091087649869)×R²
    abs(1.69715799-1.69711006)×1.7893764470811e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7893764470811e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7893764470811e-05×40589641000000     		ar = 15608.045217975m²