Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10093 / 2425
↖ ↑ ↗
← N 77.499364°
E 41.770020°		 ← 528.83 m → N 77.499364°
E 41.791992°		 →
↑
528.92 m
↓
↑
528.92 m
↓
N 77.494607°
E 41.770020°		 ← 529.03 m →
279 764 m²		 N 77.494607°
E 41.791992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616058349609375 y=0.148040771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616058349609375 × 214)
    floor (0.616058349609375 × 16384)
    floor (10093.5)     		tx = 10093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148040771484375 × 214)
    floor (0.148040771484375 × 16384)
    floor (2425.5)     		ty = 2425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10093 / 2425 ti = "14/10093/2425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10093/2425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10093 ÷ 214
    10093 ÷ 16384     		x = 0.61602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2425 ÷ 214
    2425 ÷ 16384     		y = 0.14801025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61602783203125 × 2 - 1) × π
    0.2320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.72902437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14801025390625 × 2 - 1) × π
    0.7039794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21161680087091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72902437} λ = 0.72902437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21161680087091))-π/2
    2×atan(9.13046661211393)-π/2
    2×1.46170769907763-π/2
    2.92341539815526-1.57079632675     		φ = 1.35261907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72902437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.770020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35261907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.499364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10093 KachelY 2425 0.72902437 1.35261907 41.770020 77.499364
    Oben rechts KachelX + 1 10094 KachelY 2425 0.72940786 1.35261907 41.791992 77.499364
    Unten links KachelX 10093 KachelY + 1 2426 0.72902437 1.35253605 41.770020 77.494607
    Unten rechts KachelX + 1 10094 KachelY + 1 2426 0.72940786 1.35253605 41.791992 77.494607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35261907-1.35253605) × R
    8.30199999999337e-05 × 6371000     		dl = 528.920419999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35261907-1.35253605) × R
    8.30199999999337e-05 × 6371000     		dr = 528.920419999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72902437-0.72940786) × cos(1.35261907) × R
    0.000383490000000042 × 0.216450451099046 × 6371000     		do = 528.834943427418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72902437-0.72940786) × cos(1.35253605) × R
    0.000383490000000042 × 0.216531502248076 × 6371000     		du = 529.032968793476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35261907)-sin(1.35253605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216450451099046-0.216531502248076)×R²
    abs(0.72940786-0.72902437)×8.10511490308419e-05×R²
    0.000383490000000042×8.10511490308419e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.10511490308419e-05×40589641000000     		ar = 279763.970377687m²