Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10093 / 2420
↖ ↑ ↗
← N 77.523122°
E 41.770020°		 ← 527.85 m → N 77.523122°
E 41.791992°		 →
↑
527.96 m
↓
↑
527.96 m
↓
N 77.518374°
E 41.770020°		 ← 528.04 m →
278 736 m²		 N 77.518374°
E 41.791992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616058349609375 y=0.147735595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616058349609375 × 214)
    floor (0.616058349609375 × 16384)
    floor (10093.5)     		tx = 10093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147735595703125 × 214)
    floor (0.147735595703125 × 16384)
    floor (2420.5)     		ty = 2420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10093 / 2420 ti = "14/10093/2420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10093/2420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10093 ÷ 214
    10093 ÷ 16384     		x = 0.61602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2420 ÷ 214
    2420 ÷ 16384     		y = 0.147705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61602783203125 × 2 - 1) × π
    0.2320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.72902437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147705078125 × 2 - 1) × π
    0.70458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21353427685571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72902437} λ = 0.72902437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21353427685571))-π/2
    2×atan(9.14799085836406)-π/2
    2×1.46191502422244-π/2
    2.92383004844488-1.57079632675     		φ = 1.35303372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72902437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.770020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35303372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.523122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10093 KachelY 2420 0.72902437 1.35303372 41.770020 77.523122
    Oben rechts KachelX + 1 10094 KachelY 2420 0.72940786 1.35303372 41.791992 77.523122
    Unten links KachelX 10093 KachelY + 1 2421 0.72902437 1.35295085 41.770020 77.518374
    Unten rechts KachelX + 1 10094 KachelY + 1 2421 0.72940786 1.35295085 41.791992 77.518374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35303372-1.35295085) × R
    8.28699999999571e-05 × 6371000     		dl = 527.964769999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35303372-1.35295085) × R
    8.28699999999571e-05 × 6371000     		dr = 527.964769999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72902437-0.72940786) × cos(1.35303372) × R
    0.000383490000000042 × 0.21604561235987 × 6371000     		do = 527.8458354323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72902437-0.72940786) × cos(1.35295085) × R
    0.000383490000000042 × 0.216126524499669 × 6371000     		du = 528.043521168946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35303372)-sin(1.35295085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21604561235987-0.216126524499669)×R²
    abs(0.72940786-0.72902437)×8.09121397986057e-05×R²
    0.000383490000000042×8.09121397986057e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.09121397986057e-05×40589641000000     		ar = 278736.190811537m²