Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100929 / 98905
↖ ↑ ↗
← S 67.162494°
E 97.209778°		 ← 118.54 m → S 67.162494°
E 97.212525°		 →
↑
118.50 m
↓
↑
118.50 m
↓
S 67.163560°
E 97.209778°		 ← 118.54 m →
14 047 m²		 S 67.163560°
E 97.212525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770030975341797 y=0.754589080810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770030975341797 × 217)
    floor (0.770030975341797 × 131072)
    floor (100929.5)     		tx = 100929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754589080810547 × 217)
    floor (0.754589080810547 × 131072)
    floor (98905.5)     		ty = 98905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100929 / 98905 ti = "17/100929/98905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100929/98905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100929 ÷ 217
    100929 ÷ 131072     		x = 0.770027160644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98905 ÷ 217
    98905 ÷ 131072     		y = 0.754585266113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770027160644531 × 2 - 1) × π
    0.540054321289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.69663069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754585266113281 × 2 - 1) × π
    -0.509170532226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.59960640342165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69663069} λ = 1.69663069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59960640342165))-π/2
    2×atan(0.201975999414099)-π/2
    2×0.199294835277477-π/2
    0.398589670554953-1.57079632675     		φ = -1.17220666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69663069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.209778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17220666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.162494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100929 KachelY 98905 1.69663069 -1.17220666 97.209778 -67.162494
    Oben rechts KachelX + 1 100930 KachelY 98905 1.69667863 -1.17220666 97.212525 -67.162494
    Unten links KachelX 100929 KachelY + 1 98906 1.69663069 -1.17222526 97.209778 -67.163560
    Unten rechts KachelX + 1 100930 KachelY + 1 98906 1.69667863 -1.17222526 97.212525 -67.163560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17220666--1.17222526) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dl = 118.500599999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17220666--1.17222526) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dr = 118.500599999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69663069-1.69667863) × cos(-1.17220666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388118952551294 × 6371000     		do = 118.541518290926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69663069-1.69667863) × cos(-1.17222526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388101810551412 × 6371000     		du = 118.536282682927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17220666)-sin(-1.17222526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388118952551294-0.388101810551412)×R²
    abs(1.69667863-1.69663069)×1.71419998819533e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71419998819533e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71419998819533e-05×40589641000000     		ar = 14046.9308314562m²