Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100927 / 97853
↖ ↑ ↗
← S 66.014669°
E 97.204284°		 ← 124.16 m → S 66.014669°
E 97.207031°		 →
↑
124.11 m
↓
↑
124.11 m
↓
S 66.015785°
E 97.204284°		 ← 124.15 m →
15 408 m²		 S 66.015785°
E 97.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770015716552734 y=0.746562957763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770015716552734 × 217)
    floor (0.770015716552734 × 131072)
    floor (100927.5)     		tx = 100927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746562957763672 × 217)
    floor (0.746562957763672 × 131072)
    floor (97853.5)     		ty = 97853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100927 / 97853 ti = "17/100927/97853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100927/97853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100927 ÷ 217
    100927 ÷ 131072     		x = 0.770011901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97853 ÷ 217
    97853 ÷ 131072     		y = 0.746559143066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770011901855469 × 2 - 1) × π
    0.540023803710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.69653481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746559143066406 × 2 - 1) × π
    -0.493118286132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.54917678502135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69653481} λ = 1.69653481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54917678502135))-π/2
    2×atan(0.212422771476135)-π/2
    2×0.209311499948131-π/2
    0.418622999896263-1.57079632675     		φ = -1.15217333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69653481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.204284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15217333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.014669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100927 KachelY 97853 1.69653481 -1.15217333 97.204284 -66.014669
    Oben rechts KachelX + 1 100928 KachelY 97853 1.69658275 -1.15217333 97.207031 -66.014669
    Unten links KachelX 100927 KachelY + 1 97854 1.69653481 -1.15219281 97.204284 -66.015785
    Unten rechts KachelX + 1 100928 KachelY + 1 97854 1.69658275 -1.15219281 97.207031 -66.015785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15217333--1.15219281) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dl = 124.107079999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15217333--1.15219281) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dr = 124.107079999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69653481-1.69658275) × cos(-1.15217333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406502740474611 × 6371000     		do = 124.156400321405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69653481-1.69658275) × cos(-1.15219281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406484942504018 × 6371000     		du = 124.150964363066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15217333)-sin(-1.15219281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406502740474611-0.406484942504018)×R²
    abs(1.69658275-1.69653481)×1.77979705928144e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77979705928144e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77979705928144e-05×40589641000000     		ar = 15408.3509870005m²