Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100926 / 99307
↖ ↑ ↗
← S 67.587239°
E 97.201538°		 ← 116.43 m → S 67.587239°
E 97.204284°		 →
↑
116.46 m
↓
↑
116.46 m
↓
S 67.588287°
E 97.201538°		 ← 116.42 m →
13 559 m²		 S 67.588287°
E 97.204284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770008087158203 y=0.757656097412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770008087158203 × 217)
    floor (0.770008087158203 × 131072)
    floor (100926.5)     		tx = 100926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757656097412109 × 217)
    floor (0.757656097412109 × 131072)
    floor (99307.5)     		ty = 99307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100926 / 99307 ti = "17/100926/99307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100926/99307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100926 ÷ 217
    100926 ÷ 131072     		x = 0.770004272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99307 ÷ 217
    99307 ÷ 131072     		y = 0.757652282714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770004272460938 × 2 - 1) × π
    0.540008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69648688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757652282714844 × 2 - 1) × π
    -0.515304565429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.61887703706892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69648688} λ = 1.69648688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61887703706892))-π/2
    2×atan(0.198121056813172)-π/2
    2×0.195588232624833-π/2
    0.391176465249667-1.57079632675     		φ = -1.17961986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69648688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.201538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17961986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.587239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100926 KachelY 99307 1.69648688 -1.17961986 97.201538 -67.587239
    Oben rechts KachelX + 1 100927 KachelY 99307 1.69653481 -1.17961986 97.204284 -67.587239
    Unten links KachelX 100926 KachelY + 1 99308 1.69648688 -1.17963814 97.201538 -67.588287
    Unten rechts KachelX + 1 100927 KachelY + 1 99308 1.69653481 -1.17963814 97.204284 -67.588287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17961986--1.17963814) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dl = 116.461879999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17961986--1.17963814) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dr = 116.461879999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69648688-1.69653481) × cos(-1.17961986) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381276276564932 × 6371000     		do = 116.42729780278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69648688-1.69653481) × cos(-1.17963814) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381259377351575 × 6371000     		du = 116.422137424684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17961986)-sin(-1.17963814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381276276564932-0.381259377351575)×R²
    abs(1.69653481-1.69648688)×1.68992133569579e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68992133569579e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68992133569579e-05×40589641000000     		ar = 13559.0414921217m²