Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100925 / 98941
↖ ↑ ↗
← S 67.200840°
E 97.198791°		 ← 118.35 m → S 67.200840°
E 97.201538°		 →
↑
118.37 m
↓
↑
118.37 m
↓
S 67.201904°
E 97.198791°		 ← 118.35 m →
14 010 m²		 S 67.201904°
E 97.201538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770000457763672 y=0.754863739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770000457763672 × 217)
    floor (0.770000457763672 × 131072)
    floor (100925.5)     		tx = 100925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754863739013672 × 217)
    floor (0.754863739013672 × 131072)
    floor (98941.5)     		ty = 98941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100925 / 98941 ti = "17/100925/98941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100925/98941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100925 ÷ 217
    100925 ÷ 131072     		x = 0.769996643066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98941 ÷ 217
    98941 ÷ 131072     		y = 0.754859924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769996643066406 × 2 - 1) × π
    0.539993286132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.69643894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754859924316406 × 2 - 1) × π
    -0.509719848632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.60133213180798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69643894} λ = 1.69643894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60133213180798))-π/2
    2×atan(0.201627744281868)-π/2
    2×0.198960207527092-π/2
    0.397920415054184-1.57079632675     		φ = -1.17287591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69643894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.198791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17287591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.200840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100925 KachelY 98941 1.69643894 -1.17287591 97.198791 -67.200840
    Oben rechts KachelX + 1 100926 KachelY 98941 1.69648688 -1.17287591 97.201538 -67.200840
    Unten links KachelX 100925 KachelY + 1 98942 1.69643894 -1.17289449 97.198791 -67.201904
    Unten rechts KachelX + 1 100926 KachelY + 1 98942 1.69648688 -1.17289449 97.201538 -67.201904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17287591--1.17289449) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dl = 118.373180000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17287591--1.17289449) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dr = 118.373180000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69643894-1.69648688) × cos(-1.17287591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387502078663352 × 6371000     		do = 118.353109127215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69643894-1.69648688) × cos(-1.17289449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387484950273612 × 6371000     		du = 118.347877676104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17287591)-sin(-1.17289449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387502078663352-0.387484950273612)×R²
    abs(1.69648688-1.69643894)×1.71283897395513e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71283897395513e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71283897395513e-05×40589641000000     		ar = 14009.5242591235m²