Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100923 / 99287
↖ ↑ ↗
← S 67.566286°
E 97.193299°		 ← 116.53 m → S 67.566286°
E 97.196045°		 →
↑
116.53 m
↓
↑
116.53 m
↓
S 67.567334°
E 97.193299°		 ← 116.53 m →
13 578 m²		 S 67.567334°
E 97.196045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769985198974609 y=0.757503509521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769985198974609 × 217)
    floor (0.769985198974609 × 131072)
    floor (100923.5)     		tx = 100923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757503509521484 × 217)
    floor (0.757503509521484 × 131072)
    floor (99287.5)     		ty = 99287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100923 / 99287 ti = "17/100923/99287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100923/99287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100923 ÷ 217
    100923 ÷ 131072     		x = 0.769981384277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99287 ÷ 217
    99287 ÷ 131072     		y = 0.757499694824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769981384277344 × 2 - 1) × π
    0.539962768554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.69634307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757499694824219 × 2 - 1) × π
    -0.514999389648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.61791829907652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69634307} λ = 1.69634307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61791829907652))-π/2
    2×atan(0.198311094080851)-π/2
    2×0.195771085666867-π/2
    0.391542171333735-1.57079632675     		φ = -1.17925416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69634307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.193299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17925416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.566286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100923 KachelY 99287 1.69634307 -1.17925416 97.193299 -67.566286
    Oben rechts KachelX + 1 100924 KachelY 99287 1.69639100 -1.17925416 97.196045 -67.566286
    Unten links KachelX 100923 KachelY + 1 99288 1.69634307 -1.17927245 97.193299 -67.567334
    Unten rechts KachelX + 1 100924 KachelY + 1 99288 1.69639100 -1.17927245 97.196045 -67.567334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17925416--1.17927245) × R
    1.82900000000874e-05 × 6371000     		dl = 116.525590000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17925416--1.17927245) × R
    1.82900000000874e-05 × 6371000     		dr = 116.525590000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69634307-1.69639100) × cos(-1.17925416) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381614326501328 × 6371000     		do = 116.5305254176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69634307-1.69639100) × cos(-1.17927245) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381597420594589 × 6371000     		du = 116.525362995599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17925416)-sin(-1.17927245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381614326501328-0.381597420594589)×R²
    abs(1.69639100-1.69634307)×1.69059067394728e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69059067394728e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69059067394728e-05×40589641000000     		ar = 13578.487450503m²